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1、全国考研专业课高分资料大连理工大学大连理工大学数学分析数学分析笔记笔记笔 记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲 义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题 2-3 套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题 2 套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真 题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！2 / 181 考研专业课高分资料目录目录第二模块 笔记.3 第一部分 实数集与函数.3 第二部分 数列极限.8 第三部分 函数极限.10 第四部分 函数连续性.15 第五部分 导数与微分.32
2、 第六部分 微分中值定理及其应用.38 第八部分 不定积分.53 第九部分 定积分.56 第十部分 定积分的应用.62 第十一部分 反常积分.70 第十二部分 数项级数.74 第十三部分 函数列与函数项级数.92 第十四部分 幂级数.103 第十五部分 傅里叶级数.118 第十六部分 多元函数的极限与连续.133 第十七部分 多元函数微分学.138 第十八部分 隐函数定理及其应用.150 第十九部分 含参量积分.154 第二十部分 曲线积分.165 第二十一部分 重积分.168 第二十二部分 曲面积分.177雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！3 / 181 考研专业课高分资料第二模块第二
3、模块 笔记笔记第一部分第一部分 实数集与函数实数集与函数 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一 实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如： 记为 ；0 记为 ； 记为 实数大小的比较定义 1 给定两个非负实数其中 为非负整数，。若由1） 则称 与 相等，记为 2） 若存在非负整数 ，使得 ，而，则称 大于 （或 小于 ） ，分别记为 （或） 。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义 1 有 ，则称 实数的有理数近似表示定义 2 设为非负实数，称有理数为实数的位不足近
4、似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！4 / 181 考研专业课高分资料的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如 ，则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 的不足近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。命题 设 为两个实数，则 实数的一些主要性质1 四则运算封闭性:2 三歧性( 即有序性 ):3 实数大小由传递性，即 4 Achimedes 性: 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.6 实数集的几何表示 数轴:例 二. 绝对值与不等式绝对值定义： 从数轴上看的绝对值就是到原点
5、的距离：绝对值的一些主要性质 雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！5 / 181 考研专业课高分资料性质 4（三角不等式）的证明：三. 几个重要不等式: 对 记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)对 由二项展开式雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！6 / 181 考研专业课高分资料有: 上式右端任何一项.2 数集。确界2 二 数集 . 确界原理:一 区间与邻域:邻域二 有界数集 . 确界原理:1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界)闭区间、为有限数） 、邻域等都是有界数集，集合
6、也是有界数集.无界数集: 对任意，存在 ，则称 S 为无界集。 等都是无界数集, 例 证明集合 是无界数集.证明：对任意, 存在 由无界集定义，E 为无界集。确界先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条：（1） 对一切 有 ，即 是数集 S 的上界；雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！7 / 181 考研专业课高分资料（2） 对任何 存在 使得（即是 S 的最小上界）则称数为数集 S 的上确界。记作 定义
7、 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条：（3） 对一切 有 ，即 是数集 S 的下界；（4） 对任何 存在 使得（即是 S 的最大下界）则称数为数集 S 的下确界。记作 3 函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的. 因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.一 函数的定义1. 函数的几点说明.函数的两要素: 定义域和对应法则约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.函数的表示法: 解析法, 列表法, 图像法.分段函数 狄里克雷函数 黎曼函数 三 函数的四则运算（见课本）四. 函数的复合: 雪林雨荷，一生承诺！雪林雨荷，一生承诺！8 / 181 考研专业课高分资料六 初等函数:基本初等函数:1 常函数2 幂函数 幂函数 4 具有某些特性的函数1.有界函数 若函数在定义域上既有上界又有下界，则称为上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切，恒有 请同学
