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1、1 章 引言 科学计算是人们在社会实践中，特别是在科学和工程实践中普遍面临的问题：原问题抽象为数学问题（建立原问题的数学模型）求解该数学问题（必然涉及数值计算）回答原问题。例：1. 网上的信息查询搜索引擎；2. 金融工程、保险业；3. 建筑、机械、电子、运输、航空航天工程等；4. 无所不在。 数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程；1. 如何计算；2. 结果评价； 直接面向实际是数值分析这门数学课程的显著特点，它使高等数学等基础数学知识成为“好用的、能够解决实际问题的工具”； 计算机技术与数学软件的结合为应用数值分析的方法解决大规模、复杂的实际计算问题提供了便功能
2、强大的技术手段；1. 能力；2.素质； 因此，在学习数值分析的理论和方法的过程中，同时掌握利用数学软件进行分析和计算的技术，既是本课程所具有的功能，也是课程的教学要求和应达到的目的。第 2 章 数值计算与误差分析2.1 误差的来源及误差的基本概念2.1.1 误差的来源误差数值计算必然涉及到的问题。数值计算普遍存在于科学研究和工程应用中，由于误差的存在，一般难以获得精确的计算结果，产生误差的原因主要有以下几个方面：、模型误差：数学模型对实际问题的仅是刻画；基于对实际问题近似描述的数学模型进行数值计算，例如利用函数的 阶 Taylor 展式n 200 0000002!n nnfxfxf xf xf
3、xxxxxxxxxnL计算函数值；、观测误差：数学模型或计算公式中通常包含若干参数，这些参数往往是通过观测或实验得到的，这样得到的参数与其真值之间有一定的差异即所谓的观测误差，例如描述弹簧受迫振动的二阶线性常系数微分方程tfkxdtdx dtxdm22中的质量、阻尼系数 和弹性系数 等。mk更一般地：对物体的长宽高、电压、温度、速度的量测等。、截断误差：许多数学运算是通过极限过程定义的，如微分、积分以及无穷级数求和等，由于计算机只能完成有限的算术预算和逻辑运算，所以在利用计算机进行计算是需要把无限的计算过程用有限的计算过程代替，由此产生的误差成为截断误差；、舍入误差：实际计算时只能按有限位进行
4、，特别是里用计算机计算，由于计算机的有限位的限制，对参与运算的数据以及运算结果往往要进行舍入，例如利用公式2RA计算圆的面积时， 需用有限的小数代替，由此产生的误差成为舍入误差。数值分析与计算主要研究截断误差和舍入误差，研究误差产生的原因、分析算法的误差以及控制计算过程中误差的扩散，由此把握计算结果的精度。2.2 误差的基本概念：绝对误差和相对误差如果是数 的一个近似值，定义*xx（2.1）*xx为的绝对误差。*x在实际计算中精确值 通常得不到，因此按式（2.1）求不x出的绝对误差，通常根据具体的测量或计算过程估计可以确*x定误差绝对值的一个上限，例如用一个最小刻度是毫米*xx 的尺子测量一个
5、物体的长度，那么在使用方法和观测角度正确的前提下，可以确定测量的结果与真值 之差的绝对值满足不*xx等式，*0.5xxmm而且 mmxxxxxxx25. 0*2*2一般地，设（2.2） *xxx则称为近似值的绝对误差限(bound on absolute error)。 *x*x通常简称为绝对误差(absolute error)，知道了绝对误差，就可以确定精确值的取值范围：（2.3） *xxxxx有时也用（2.4） *xxx表示的精确度或精确值 所在范围。*xx仅有绝对误差的概念还不足以确切地刻画近似值的近似*x程度，例如对长度约 1km 的测量误差为 2m，对长度约为 1m 的物体测量误差为
6、 0.05m，尽管后者的绝对误差比前者小 40 倍，但是，直观会感觉前者的测量精度比后者的测量精度高，原因在于前者的测量误差与总长度之比* 0.002xxx小于后者的测量误差与总长度之比* 0.05xxx上述的直观感觉所蕴含的就是所谓的相对误差的概念：设是*x数 的一个近似值，定义x（2.5）*xx x为的相对误差(relative error)。考虑到在实际计算中精确*x值 通常得不到，因此在实际计算中通常用下式替代式（2.5）x（2.6）*xx x当的绝对误差限为时，相对误差限(bound on relative *x *xerror)定义为。 （2.7） * * *rxxx2.3 科学表
7、示法、有效数字、近似值的精度任何一个实数 都可以表示成如下的形式：a（2.8）12100.m naa aa L其中：是正整数，是整数，1n m。119,09,2,3,kaaknL如果数 的近似值x（2.9）* 12100.m nxa aa L并且， （2.10）*1102m nxx则称该近似值具有 位有效数字（significant digit）。*xn此时，该近似值的相对误差为*x。 （2.11） * * *121110 2 100.1102rm nm nnxxxa aaaL另一方面，若已知， （2.12） *1111021n rxa那么， *1 112110.10211102rm nnm
8、nxxxxa aa a L即，至少有 位有效数字。*xn例 1：3.141592653589793.x*=3.14x* =3.14159x*=3.1415x*=3.141*21 310 0.314110.0016.0.005101022xx*51 610 0.314159110.0000026.0.000005101022xx*31 410 0.31415110.000092.0.0001101022xx*21 310 0.3141 110.00059.0.001101022xx例 2：2.718281828459046.e x* = 2.718;x* = 2.7183;x* = 2.7182
9、;x* = 2.71829;2.4 四则运算的误差a) 加减法运算 *xyxyb) 乘法运算 *xyx yxyxyxyx yx yyyxxx yxyyxc) 除法运算 *2*xxxyx y yyyyxyx yx yx y yyxxyyy xyyxyyxx yy2.5 误差的定性分析与计算的基本准则2.5.1 自变量诱导的函数值误差设是数 的一个近似值，函数具有适当阶导数，由*xx f x *f xf xfxxxxx得到的绝对误差限： *f x（2.13） *f xf xfxxxxxf xfxx和相对误差限：（2.14） * * *rf xf xfxxxfxf xxf xf xf x 由自变量相
10、对误差与函数相对误差之比：（2.15） *f xf xfxxxC xf xxxf x当较大时，称该问题是病态的（ill-conditioned）. C x例：。 nf xx。 nf xxC xn当时，*10,1,0.99nxx。 1110.990.10570.990.90440.99fff ff注：在，可逆，的场 f xAxbn nARnbRnxR合，。 1C xCond AAA2.5.2 计算的基本准则a) 尽量减少计算步骤，简化计算；四则运算的结果表明；b) 尽量避免两个相近的数减；例：71.23456789 1.234567880.00000001100.1a bab 原始数据有 9 位
11、有效数字，运算结果只有 1 位有效数字。例：当较大时，x。111xxxx c) 尽量避免较大的数和较小的数相加；例：510000100.10000 0.1000010000.110000a bab 较小的数被较大的数“吃”掉了。d) 尽量避免绝对值较小的数做除数；例：设，*0.2,0.1,1000xxy。*500010000y x y x 例：当较大时，x。1000100011xxxx e) 选择数值稳定的算法定义 1 如果一个算法的计算结果对原始数据的误差（扰动）以及计算过程中的舍入误差不敏感，则称该算法是数值稳定的，否则称为数值不稳定的。例：利用递推算法计算下列积分：10,0,1,2,20
12、5nnxIdxnxL由于101110111100115 55 55515,1,2,201 1,20,19,15nnnnnn nnnnnxIdxx xxxdxx xxdxdxxIInnIIn LL% Lecture_one_01 % Numerical Stabilityclear all clcf = (x) 1./(x+5); n = 20;I(1) = quad(f, 0, 1) for n = 1:20I(n+1) = 1/(n+1) - 5*I(n); endF = (x)x.20./(x + 5); L(21) = quad(F, 0, 1)Q(21) = L(21); for n = 20:-1:1L(n) = (1/n - L(n+1)/5;Q(n) = quad(x)x.(n-1)./( x+ 5), 0, 1); end Disp = L, Q
