数学危机

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1、数学危机数学危机2.1 集合论的创立和传播集合论的创立者格奥尔格康托尔，1845 年 3 月 3 日出生于俄国圣彼得堡(前苏联列宁格勒)一个商人家庭。他在中学时期就对数学感兴趣。1862 年，他到苏黎世上大学，1863 年转入柏林大学。当时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心，他在 1867年的博土论文中就已经反映出“离经叛道”的观点，他认为在数学中提问的艺术比起解法来更为重要。的确，他原来的成就并不总是在于解决间题，他对数学的独特贡献在于他以特殊提问的方式开辟了广阔的研究领域。他所提出的问题一部分被他自己解决，一部分被他的后继者解决，一些没有解决的问题则始终支配着某一个方向的发展，例如著

2、名的连续统假设。1869 年康托尔取得在哈勒大学任教的资格，不久就升为副教授，并在 1879 年升为教授，他一直到去世都在哈勒大学工作。哈勒是一个小地方，而且薪金微薄。康托尔原来希望在柏林找到一个薪金较高、声望更大的教授职位，但是在柏林，那位很有势力而且又专横跋扈的克洛耐克处处跟他为难，阻塞了他所有的道路。原因是克洛耐克对于他的集合论，特别是他的“超穷数”观点持根本否定的态度。由于用脑过度和精神紧张，从 1884 年起，他不时犯深度精神抑郁症，常常住在疗养院里。1918 年 1 月 6 日他在哈勒大学附近的精神病院中去世。集合论的诞生可以说是在 1873 年年底。1873 年 11 月，康托尔

3、在和戴德金的通信中提出了一个问题，这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到一个新方向。他认为，有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合成一对一的对应。但是他不知道，对于实数集合这种一对一的对应是否能办到。他相信不能有一对一的对应，但是他“讲不出什么理由” 。不久之后，他承认他“没有认真地考虑这个问题，因为它似乎没有什么价值” 。接着他又补充一句， “要是你认为它因此不值得再花费力气，那我就会完全赞同” 。可是，康托尔又考虑起集合的映射问题来。很快，他在 1873 年 12 月 7 日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天可以看成是集合论的诞生日。戴德金

4、热烈的祝贺了康托尔取得的成功。其间，证明的意义也越来越清楚。因为康托尔还成功地证明代数数的集合也是可数的。所谓代数数就是整系数代数方程的根，而象 与 e 这样的不能成为任何整系数代数方程的根的数，则称为超越数。早在 1847 年，刘维尔就通过构造的方法（当时大家认为是唯一可接受的方法）证明了超越数的存在，也就是具体造出超越数来。可是，康托尔 1874 年发表的有关集合论的头一篇论文论所有实代数集合的一个性质断言，所有实代数数的集合是可数的，所有实数的集合是不可数的。因此，非代数数的超越数是存在的，并且其总数要比我们熟知的实代数数多得多，也就是说超越数的集合也是不可数的。康托尔的这种证明是史无前

5、例的。他连一个具体的超越数都没有举出来，就“信口开河”的说超越数存在，而且比实代数数的“总数”多得多，这怎么能不引起当时数学家的怀疑甚至愤怒呢？其实，康托尔的著作主要是证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，也存在那种像实数集合那样不可数的、具有“连续统的势”的无穷。过去数学家认为靠得住的只有有限，而无穷最多只是模模糊糊的一个记号。而康托尔把无穷分成许多“层次” ，这真有点太玄乎了。1878 年，康托尔发表了集合论第二篇文章，其中把隐含在 1847年文章中的“一一对应”概念提出来，作为判断两个集合相同或不同的基础，这就是最原始的等价观念。而两个集合相互之间如果能够一一对应就称为等势，势的概念

6、于是应运而生。从 1879 年到 1884 年，康托尔发表了题为“论无穷线性点集”的一系列文章，共有六篇，这些文章奠定了新集合论的基础。特别是在 1883 年的文章中引进生成新的超穷数概念，并且提出了所谓连续统假设，即可数基数后面紧接着就是实数基数。他相信这个假设正确，但没能证明。这个假设对于二十世纪数学基础的发展起着极其重大的作用。康托尔最后的集合论著作是 1895 年和 1897 年发表的两篇文章，其中最重要的是引进“序型”的概念，并定义相应的序数。这个时期，反对集合论的势力逐渐削弱，但是集合论的内在矛盾已经开始暴露出来了。康托尔自己最早发现了集合论的内在矛盾。他在 1895 年文章中遗留

7、下两大问题未解决：一个是连续统假设，另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数但没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。第一个发表集合论悖论的是意大利数学家布拉里福蒂，他指出所有序数的集合这个概念的内在矛盾，但是当时认为这也许能够补救。一直到 1903 年罗素发表他的著名悖论，集合论的内在矛盾才突出出来，并成为二十世纪集合论和数学基础研究的出发点。康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论，因此它的发展道路自然很不平坦。在当时，占统治地位的观念是：你要证明什么，你就要具体造出什么来。因此，人们只能从具体的数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来。至于“无穷”的世界，即完全是超乎人

8、的能力之外，决不是人所能掌握和控制得了的。反对集合论最激烈的克洛耐克认为只有他研究的数论及代数才最可靠。他有一句著名的话：“上帝创造了正整数，其余的是人的工作” 。他认为除了由数经过有限多步推出的事实，其他一概无效。他甚至认为圆周率 都不存在，证明 是超越数也毫无意义。当时柏林是世界数学的中心之一，克洛耐克又是柏林学派的领袖人物，因此他对集合论发展的阻碍作用是非常大的。克洛耐克在 1891 年去世之后，阻力一下子减少了，康托尔发挥出自己的组织才能，积极筹建德国数学联合会(1891 年成立)以及国际数学家大会(1897 年第一届大会在苏黎世召开)，给集合论获得承认铺平了道路。另方面，许多大数学家

9、支持康托尔的集合论。除了戴德金以外，瑞典的数学家米太格莱夫勒在自己创办的国际性数学杂志“数学学报”(1882 年创刊)上，把康托尔集合论的论文译成法文转载，从而大大促进了集合论在国际上的传播。柏林大学教授威尔斯持拉斯也是集合论的同情者，为了捍卫集合论而勇敢战斗的则是希尔伯特。从此，围绕集合论形成了二十世纪初关于数学基础的大论战。2.2 集合论简介有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为 1，2，3，4，我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(

10、1，2，3，4，)，称为可数无穷集。有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！” 。正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间” 。于是 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间的客人搬到 3 号房间依此类推。最后 1 号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让 1 号房间客人搬到 2 号，

11、2 号房间客人搬到 4 号，k 号房间客人搬到 2k 号，这样，1 号，3 号，5 号，房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。 ”过一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。 （因为比较繁琐，这里不详细介绍了）希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不阅聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间0，1上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行

12、不通的。由康托尔的定理，可知无穷集合除了可数集台之外还有不可数集合，可以证明：不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目的多少，我们引进“基数”也称“势”的概念，这个概念是自然数的自然推广。可以与自然数集合 N 一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目，这是最小的无穷基数记做 。 （ 是希伯来文字母第一个，读做阿列夫)。同样，连续统(所有实数或0，1区间内的所有实数集合)的基数是 C。康托尔还进一步证明，C2。 ，问题是 C 是否紧跟着 。的第二个无穷基数呢？这就是所谓连续统假设。3、数学的公理化十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部

13、门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希

14、尔伯特在 1899 年首先在几何学基础中做出的。3.1 初等几何学的公理化十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于之间”等没有严格的定义；另外，对于公理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面想通过理想元素的引进，把度

15、量几何包括在射影几何之中。十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”(1899)，由于基本概念太少(只有“点”和“运动”)而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。希尔伯特的几何学基础的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在 1

16、891 年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面” 。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、面的直观意义要抛掉，应该研究的只是它们之间的关系，关系由公理来体现。几何学是对空间进行逻辑分析，而不诉诸直观。希尔伯特的公理系统包括二十条公理，他把它们分为五组：第一组八个公理，为关联公理（从属公理） ；第二组四个公理，为次序公理；第三组五个公理；第四组是平行公理；第五组二个，为连续公理。希尔伯特在建立公理系统之后，首要任务是证明公理系统的无矛盾性。这个要求很自然，否则如果从这个公理系统中推出相互矛盾的结果来，那么这个公理系统就会毫无价值。希尔伯特在几何学基础第二章中证明了他的公理系统的无矛盾性。这次，他不能象非欧几何那样提出欧氏模型，他提出的是算术模型。实际上，由解析几何可以把点解释为三数组(可以理解为坐标(x、y、z)，直线表示为方程，这样的模型不难证明是满足所有 20个公理的。因此，公理的推论若出现矛盾，则必定在实数域的算术中表现出来。这就