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1、2 0 1 6年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学)( 满分:1 0 0分 考试时间:1 2 0分钟)题号一二三四五六总分统分人签字得分得分评卷人一、 单项选择题( 本大题共8小题, 每小题5分, 共4 0分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、 多选或未选均无分。 )1.极限l i m n(1+1 1+n2)n2的值是() 。A. eB. 1C.1 eD. 02.下列级数中, 不收敛的是() 。A. n=1(-1)nnB. n=11 n2C. n=11 nD. n=11 n!3.方程x
2、2-y2+z2=-1所确定的二次曲面是() 。A.椭球面B.旋转双曲面C.旋转抛物面D.圆柱面4.若函数f(x) 在0,1 上黎曼可积, 则f(x) 在0,1 上( ) 。A.连续B.单调C.可导D.有界5.矩阵1 2 22 1 22 2 1 的特牲值的个数为( ) 。A. 0B. 1C. 2D. 36.二次型x2-3x y+y2是( ) 。A.正定的B.负定的C.不定的D.以上都不是7. 普通高中数学课程标准( 实验) 的课程目标提出培养数学基本能力, 对于用几何方法证明“ 地线与平面平行的性质定理” 的学习有助于培养的数学基本能力有( ) 。A.推理论证、 运算求解、 数据处理B.空间想象
3、、 推理论证、 抽象概括1C.推理论证、 数据处理、 空间想象D.数据处理、 空间想象、 抽象概括8.创新意识的培养是现代数学教育的基本任务, 应体现在数学教与学的过程之中, 下面的表述中不适合在教学中培养学生创新意识的是( ) 。A.发现和提出问题B.寻求解决问题的不同策略C.规范数学书写D.探索结论的新应用得分评卷人二、 简答题( 本大题共5小题, 每小题7分, 共3 5分。 )9.设质点在平面上的运动轨迹为x=t- s i nt,y=2- c o st,t0, 求质点在时刻t=1的速度的大小。1 0.设球面方程(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1 6 9。求它在点(4,5,1 3
4、) 处的切平面方程。1 1.在体育活动中, 甲乙两人掷一枚六面分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子。如果结果为奇数, 则甲跑一圈: 若结果为1或2, 则乙跑一圈, 请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事件是否独立, 并说明理由。21 2. 普通高中数学课程标准( 实验) 描述“ 知识与技能” 领域目标的行为动词有“ 了解” “ 理解” “ 掌握” “ 运用” , 请以“ 等差数列” 概念为例, 说明“ 理解” 的基本含义。1 3.以“ 余弦定理” 教学为例, 简述数学定理数学的主要环节。得分评卷人三、 解答题( 本大题1小题,1 0分。 )1 4.设A=1 1 0 1 2 1 3 4 1
5、, 求子空间A(R3)=A a|a R3 的一组正交基。3得分评卷人四、 论述题( 本大题1小题,1 5分。 )1 5.“ 严谨性与量力性相结合” 是数学教学的基本原则。(l) 简述“ 严谨性与量力性相结合”教学原则的内涵(3分) ; (2) 实数指数幂在数学上如何引入的? (6分) (3) 在高中“ 实数指数幂”概念韵教学中, 如何体现“ 严谨性与量力性相结合” 的教学原则。(6分)得分评卷人五、 案例分析题( 本大题1小题,2 0分。 ) 阅读案例, 并回答问题。1 6.案例:在等差数列的习题课教学中, 教师布置了这样一个问题: 等差数列前1 0项和为1 0 0, 前1 0 0项和为1 0
6、, 求前1 1 0项的和。两位学生的解法如下:学生甲: 设等差数例的首项为a1, 公差为d, 则S1 0=1 0a1+1 092d=1 0 0,S1 0 0=1 0 0a1+1 0 09 92d=1 0。解得a1=1 0 9 9 1 0 0,d=-1 15 0。所以S1 1 0=1 1 0a1+1 1 01 0 92d=-1 1 0。学生乙: 设等差数列an 前n项和为Sn=A n2+B n, 由已知得1 0 0A+1 0B=1 0 0,1 0 0 0 0A+1 0 0B=1 0。解得A=-1 11 0 0,B=1 1 11 0。所以,S1 0=1 1 02 -1 1 1 0 0 +1 1 0
7、1 1 11 0=-1 1 0针对上述解法, 一些学生提出了自己的想法。学生丙: 怎么刚好有S1 0 0+S1 0=-S1 1 0呢? 这是一种巧合吗? 上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?老师: 同学丙所说的规律是否就是:4一般地, 在等差数列an 中, 若存在正整数p,q且pq, 使得SP=q,SQ=p, 则Sp+Sq=-Sp+q。(*) 请同学们进行验证。问题:(1) 请分析学生甲和学生乙解法各自的特点, 并解释学生乙设Sn=A n2+B n的理由。(1 2分)(2) 请验证(*) 中结论是否成立。(8分)得分评卷人六、 教学设计题( 本大题1小题,3 0分) 。1 7. 普通高
8、中数学课程标准( 实验) 关于“ 古典概型” 的教学要求是: “ 古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征: 实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性, 让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型, 教学中不要把重点放在 如何计算 上” 。请完成下列任务:(1) 结合上述教学要求, 请设计高中“ 古典概型” 起始课的教学目标; (6分)(2) 请设计两个符合古典概型的正例, 以及两个不符合古典概型的反例, 以便理解古典概型的特征; (1 2分)(3) 抛掷一枚质地均匀的骰子( 六个面分别有1、2、3、4、5、6个点) , 请用两种不同解法求出现偶数点的概率, 并说明采用两种解法对帮
9、助学生理解古典概型的作用。(1 2分)52 0 1 5年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学)( 满分:1 0 0分 考试时间:1 2 0分钟)题号一二三四五六总分统分人签字得分得分评卷人一、 单项选择题( 本大题共8小题, 每题5分, 共4 0分) 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、 多选或未选均无分。 )1.若多项式f(x)=x4+x3-3x2-4x-1和g(x)=x3+x2-x-1, 则.f(x) 和g(x) 的公因式为( ) 。A.x+ lB.x+3C.x-1D.x-22.已知变
10、换矩阵A=1 0 00 2 00 0 03 , 则A将空间曲面(x-1)2+(y-2)2+(z-1)2=1变成( ) 。A.球面B.椭球面C.抛物面D.双曲面3.为研究7至1 0岁少年儿童的身高情况, 甲、 乙两名研究人员分别随机抽取了某城市的1 0 0名和1 0 0 0名两组调查样本, 若甲、 乙抽取的两组样本平均身高分别记为、( 单位:c m) , 则、的大小关系为( ) 。A.B.N时,anb。则abD.若对任意的整数n, 有anbn,l i m nan=a,l i m nbn=b, 且b0, 则a065.下列关系式不正确的是( ) 。A.(a+c) b=ba+bcB.(a+c)b=ba
11、+bcC.(ab)2+(ab)2=a2b2D.(ab)c=(ac)b-(bc)a6.函数n=13nnxn级数的收敛区间为( ) 。A.(-3,3)B.(-13,1 3C.-13,1 3)D.-3,37. 2 0世纪初对国际数学教育产生重要影响的是( ) 。A.贝利一克莱茵运动B.大众教学C.新数学运动D. P I S A项目8. 普通高中数学课程标准( 实验) 提出了五种基本能力, 其中不包括( ) 。A.抽象概括B.推理论证C.观察操作D.数据处理得分评卷人二、 简答题( 本大题共5小题, 每题7分, 共3 5分)9.一条光线斜射在一水平放置的平面镜上, 人射角为(01 n+n+1 n+n+
12、1 n+n=1 2,根据数列极限的保号性, 有l i mn( S2n-Sn)1 2 (1)但是由假设可得l i mn( S2n-S”)=l i mn S2n-l i mn Sn=0, 这与(1) 矛盾, 说明假设错误, 因此调和级数n=11 n 发散。3.B【 解析】 旋转双曲面的一般公式为x2a2+y2b2-z2c2=1( 单叶双曲面) ,x2a2+y2b2-z2c2=-1( 双叶双曲面) 。4. D【 解析】 根据黎曼可积定义, 即黎曼可积必有界。5. D【 解析】 由矩阵A的特征多项式| E-A |= -1 -2 -2-2 -1 -2-2 -2 -1=( -1)3-8-8-4( -1)-
13、4( -1)-4( -1)=( -1)3-1 2( -1)-1 6=( +1)2( -5) , 可得其特征值为-1,-1,5共三个。6. C【 解析】 由已知得其二次型矩阵一阶顺序主子式为| 1 |0,2阶顺序主子式为|A|=1 -3 2-3 2 1=-5 4, 故选C。7. B【 解析】 “ 直线与平面平行的性质定理” 的学习过程中对数据处理的能力提升没有很明显的作用, 因此 选择B。8. C【 解析】 创新意识是现代数学教育的基本任务, 应体现在数学与学的过程之中。学生自己发现和提出问 题是创新的基础; 独立思考、 学会思考是创新的核心; 归纳概括得到猜想和规律, 并加以验证, 是创新的重
14、要方法。11二、 简答题9.【 参考答案】因为x=t-s i nt,y=1-c o s t,所以 x t=1-c o st, y t=s i nt,速度 大小v=(1-c o st)2+s i n2t, 所以t=1时 速 度大 小v1=(1-c o s 1)2+s i n2=2-2 c o s 1。1 0.【 参考答案】因为球面方程为(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1 6 9, 故可设F(x,y,z)=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1 6 9, 有Fx(x,y,z)=2(x-1) ,Fy(x,y,z)=2(y-1) ,Fz(x,y,z)=2(z-1) , 所以Fx(4,5
15、,1 3)=2(4-1)=6,Fy(4,5,1 3)=2(5-1)=8,Fz(4,5,1 3)=2(1 3-1)=2 4, 所以在点(4,5,1 3) 处,n=(6,8,2 4) 是法线的一个 方向向量。由此可得球面在点(4,5,1 3) 处的切平面方程为6(x-4)+8(y-5)+2 4(z-1 3)=0, 化简得:3(x-4)+4(y-5)+1 2(z-1 3)=0。1 1.【 参考答案】令甲跑一圈为事件A, 乙跑一圈为事件B, 因为P(A)=36=1 2,P(B)=2 6=1 3, 而事件A,B同时发生只有一种情况, 即出现点数为1的情况,P(A B)=1 6, 所以P(A B)=P(A
16、)P(B) , 所以事件A和事件B为独立事件。1 2.【 参考答案】行为动词中的“ 理解” 就是把握内在逻辑关系, 对知识作出解释、 扩展、 提供证据、 判断等。以“ 等差数列的概念” 为例, 教学目标中理解等差数列的概念; 探索并掌握等差数列的通项公式; 能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 体会等差数列与一次函数的关系。这些都属于“ 理解” 的目标层次。学生在学习过程中, 能够把握等差数列的概念, 通过内在逻辑联系以此为前提进行推导, 探索并总结等差数列的通项公式, 同时能够对日常所见的等差数列问题作出解释、 解决相应的问题, 并能够拓展到等差数列与一次函数之
