数列与不等式专题

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1、1数列与不等式专题数列与不等式专题一高考说明剖析一高考说明剖析江苏省 2005 年高考数学考试大纲，对于不等式不等式一章的考试内容及考试要 求为：(1）理解不等式的性质及其证明。）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个掌握两个(不扩展到三个不扩展到三个)正数的算术平均数正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法掌握分析法、综合法、比较法 证明简单的不等式。证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式理解不等式a-ba+b a+b。对于数列数列一章的考试内

2、容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数理解数列的概念，了解数 列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列 的前几项。的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能项和公式，并能 解决简单的实际问题。解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和项和 公式，并能解决简单的实际问题。公式，并能解决简单的实际问题。这同江苏省 2

3、004 年高考数学考试大纲对这两部 分内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思 想之一。 传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、 直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、 不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。这是总的格 局，再细化一下，看 2004 年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省 2004 年高考数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答 题(数列为第 20 题，不等式为第 22 题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试 卷也都在不同程度上体现了数列与不等式的重

4、点地位。由此可以看出，不等式 和数列是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的 是：数列、不等式也是新课标必修模块 5 的内容。因此，我们有理由相信： 不等式、数列内容仍将是今年高考考查的重点。二高考试题研究二高考试题研究例 1(2004 年江苏高考 20 题) 设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn。若首项 a1 ，公差 d1，求满足(Sk)2的正整数 k；322kS求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数 k 都有(Sk)2成立。2kS学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具 有高等数学的语言味道。 例 2(2004 年江苏高考 22 题)

5、 已知函数 f(x)(xR)满足下列条件：对于任意的实数 x1、x2，都有 (x1x2)2(x1x2)f(x1)f(x2)和f(x1)f(x2)x1x2，其中 是大于 0 的常数。设实数 a0、a、b 满足 f(a0)0 和 baf(a)。()证明：1，并且不存在 b0a0，使得 f(b0)0；2()证明：(ba0)2(12)(aa0)2；()证明：f(b)2(12)f(a)2。本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低， 区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后 95学生可放弃解答本题。 例 3(2004 年全国高考数学试卷二 19 题)数列an的前 n 项和为 Sn

6、，已知 a11，an+1Sn(n1，2，3，)。n2 n证明：数列是等比数列；Sn+14an。Sn n解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号的意义，Sn n二是把握项与和的关系（消项留和） 。 例 4(2004 年北京高考 18 题)f(x)是定义在0，1上的增函数，f(x)=2f( )且 f(1)1，在每个区间(，x212i(i=1，2，3，)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部12i - 1分。求 f(0)及 f( )、f( )的值，并归纳出 f()(i=1，2，3，)的表达式；121 412i略 解答本题必须具有识别数列模式的能力。 例 5(2004

7、年北京高考 20 题)给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大 于 50 且总和 L1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 r1与所有可能的其它选择相比是最小的，r1称为第一组的余 差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成 第二组，这里的余差为 r2；如此继续构成第三组(余差为 r3)、第四组(余差为 r4)、 ，直至第 N 组(余差为 rN)把这些数全部分完为止。 判断 r1，r2，rN的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数；当构成第

8、n(nN)组后，指出余下每个数与的 rn的大小关系，并证明 rn-1；150nL n1 对任何满足条件 T 的有限个正数，证明：N11（本题是理科试题最后一题本题是理科试题最后一题） 。阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需3要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第 1 小题多数学生可以做出来， 不难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。三高考命题展望三高考命题展望回顾 2004 年江苏省高考数学试卷，并纵观别的省份的高考数学试卷，都有 一个共同的特点，就是一改近几年高考数学试卷难度偏大，体现了对学生分层 要求（全体学生的要求，多数学生的要求，少数学生的要求） ，让每

9、个学生都有 成功感。 江苏省 2004 年高考数学试卷与 2003 年高考数学试卷相比，难易程度明显 降低，相对来说是比较平妥的。但有一点未变，这就是突出考查主干知识和基 本能力。这是因为主干知识和基本能力是支撑知识体系的主要内容，高考时必 须保持较高的比例予以考查，并达到必要的深度，以保证高考目标的实现。 2005 年的高考考试大纲对于不等式、数列的要求同 2004 年要求完全一样。根据上述三点，我们对 2005 年高考数学命题展望如下： 1贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平 贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。如 2004 年北

10、京高考数学试题第 19 题。 例 6某段铁路线上依次有 A、B、C 三站，AB5km，BC3km，在列车 运行时刻表上，规定列车 8 点整从 A 站出发，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分 钟，8 时 12 分到达 C 站。在实际运行时，假设列车从 A 站正点出发，在 B 站 并停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 v km/h 匀速行驶，列车从 A 站到达某站 的时间与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。 分别写出列车在 B、C 两站的运行误差； 要求列车在 B、C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 v 的取值范围。本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学

11、知识分析问题和解决问题 的能力。本题具有一定的生活背景和文化背景，而且其数学模型是一个简明的绝对值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误差分别为7300 v和11，进而得出不等式：7和112。本题作为应480 v300 v480 v用题，它的阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力， 第二问检测学生的数学解模能力。估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理 解，第二个障碍是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现 单位错误, 第三个障碍是不会解不等式,或解解不等式时分类不全,乱分类。 2考查学生的数学探究能力考查学生的数学探究能力 普通高中数学课程标准指出：数学是研究空

12、间形式和数量关系的科学， 是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学教学使学生掌握数学 的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具 有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、4认识世界。 例 7(2005 北京春季高考第 20 题) 现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中 a00。为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记Ta0a1a2a3a4a5，xn ，yn(a0a1an)，作函数 yf(x)，使n 5其图象为逐点依次连接点 Pn(xn，yn)(n0，1，2，5)的折线。

13、（ 1）求 f(0)和 f(1)的值； （2）设 Pn-1Pn的斜率为 kn(n1，2，3，4，5)，判断 k1，k2，k3，k4，k5的 大小关系； （3）证明：当 x(0，1)时，f(x)x； （4）求由函数 yx 与 yf(x)的图象所围成图形的面积 S（用 a1，a2，a3，a4，a5表示） 。 本题以数字为研究对象，波及的知识点多，这点对于学生来说，具有一定 的挑战性。但更具有值挑战性的是，学生要有勇气、毅力和探究能力。 3适度综合适度综合 由学习和教学的特点，只能将结构完整的蕴含着深刻思想的有着内在联系 的知识网络，人为地加以分割成条、块，而后，按一定的顺序，渐次展开进行 教学。但

14、在应用中，往往需要将知识综合 ，需要数学思想指导，需要数学方法 支撑，才能够解决问题，支离破碎的知识是不行的（有用捕捉，有关提取，有 效整合） 。 不等式与函数、数列、二项式定理、解析几何等知识的综合，数列与函数、 方程、不等式、解析几何等的综合，既有天然的因素，也有人工的成份。试题 渗透归纳猜想、类比联想、等价转化、分类讨论等重要的数学思想，试题难度 一般均属中等以上。例如 2004 年上海高考数学试卷的第 22 题。 例 8(2004 年上海高考 22 题) 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(n3，nN)是二次曲线 C 上的 点，且 a1OP12，a2OP22

15、，anOPn2构成了一个公差为d(d0)的等差数列，其中 O 是坐标原点。记 Sna1 a2an。(文)若 C 的方程为y21，n3，点 P1(3，0)且 S3162，求点 P3的坐x29标；(只需写出一个) 若 C 的方程为 y22px(p0)，点 P1(0，0)，对于给定的自然数 n，证明： (x1p)2、(x2p)2、(x3p)2、(xnp)2成等差数列；若 C 的方程为1(ab0)，点 P1(a，0)，对于给定的自然数 n，x2a2y2b2当公差 d 变化时，求 Sn的最小值。 本题在二次曲线与数列的交汇点设计试题，题型新颖，解法多样。四高考复习建议四高考复习建议5关于数列与不等式这部分内容的复习，提几点建议，一家之言，仅供大家 参考： 1注重双基，降低难度，突出主干知识。 比如数列中对 an与 Sn符号的理解： 2004 年江苏省高考数学试卷的第 20题，考查了学生对符号的理解。学生明白f(n)意义标准是：数列an2kS第 n 项就是 f(n)；数列an第 n 项与其序号 n 的对应关系就是 f。类似的还 有符号 xi（i=0，1，2，） 。 关于 an与 Sn之间的关系，江苏省近两年的高考数学试题虽均没涉及，我们 也不能掉以轻心，应给予足够地重视。在给 an与 Sn的关系的前提下，是消 an 还是消 Sn要灵活，比如：上面