《2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教a版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教a版选修1_1（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 抛 物 线2.3.1 抛物线及其标准方程 主题题1 抛物线线的定义义1.我们们在黑板上画一条直线线l,然后取一个三角板,将一条拉链链上边边一半的一端N固定在三角板的一条直角边边上,并将拉链链下边边一半的一端固定在F点,将三角板的另一条直角边贴边贴 在直线线l上,在拉锁锁P处处放置一支粉笔,上下拖动动三角板,粉笔会画出什么图图形?提示:如图所示,会得到一条抛物线.2.通过过作图图探究你发现发现 了抛物线线的哪些结论结论 ?用文字语语言描述:_.用符号语语言描述:_.动动点P到定直线线l的距离等于它到定点F的距离|PF|=|PN|结论结论 :抛物线线的定义义:平面内与一个定点F和一条定直线
2、线l(l不经过经过 点F)_的点的轨轨迹叫做抛物线线._叫做抛物线线的焦点,_叫做抛物线线的准线线.距离相等点F直线线l主题题2 抛物线线的标标准方程根据抛物线线的几何特征,对对于开口向右的抛物线线如何借助坐标标法求出抛物线线的方程?提示:如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,依据抛物线的定义,利用直接法即可求出抛物线的标准方程.结论结论 :图图形标标准方程焦点坐标标准线线方程_y2=2px(p0)y2=-2px(p0)图图形标标准方程焦点坐标标准线线方程_x2=2py(p0)x2=-2py(p0)【微思考】1.抛物线线的开口方向与哪
3、个量有关系?提示:抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系.2.抛物线线的标标准方程中,参数p的几何意义义是什么?提示:p的值等于抛物线的焦点到准线的距离.3.要确定抛物线线的解析式,需要确定的量是什么?提示:需要确定焦点的位置及2p的值.【预习预习 自测测】1.若动动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线线x=4的距离相等,则则P点的轨轨迹是 ( )A.抛物线线B.线线段C.直线线D.射线线【解析】选A.动点P的条件满足抛物线的定义.2.已知曲线线C:y2=2px上一点P的横坐标为标为 4,P到焦点的距离为为5,则则曲线线C的焦点到准线线的距离为为 ( )A. B.1C.2D.4【解析】
4、选C.由抛物线的定义知,P到准线的距离为5,又P的横坐标为4,故 =1,曲线C的焦点到准线的距离为2.3.设设a0,aR,则则抛物线线y=-4ax2的焦点坐标为标为( )A.(a,0)B.(-a,0)C. D. 【解析】选D.x2= y,所以焦点坐标为 .4.过过(2,4)点,顶顶点在原点,焦点在y轴轴上的抛物线线的标标准方程为为_.【解析】由已知可设抛物线方程为x2=my,将点(2,4)代入得4=4m,所以m=1,故抛物线的标准方程为x2=y.答案:x2=y类类型一 抛物线线的定义义及应应用【典例1】(1)(2016四川高考)抛物线线y2=4x的焦点坐标标是 ( )A.(0,2)B.(0,1
5、)C.(2,0)D.(1,0)(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线线x+5=0的距离小1,则则点P的轨轨迹方程是 ( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x0),则将点(-3,2)代入方程得2p= ,或2p= ,故抛物线方程为y2=- x,或x2= y.(2)令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2.所以抛物线的焦点为F(0,-2).设抛物线方程为x2=-2py,则由 =2,得2p=8.所以所求的抛物线方程为x2=-8y.令y=0,由x-2y-4=0,得x=4.所以抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2=2px,由 =4,得2p
6、=16.所以所求抛物线方程为y2=16x.【方法总结】1.抛物线的“一动三定”抛物线的定义可归为“一动三定”,即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线,“定值”指点M到点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.2.抛物线标准方程的特征(1)等号的一边是某变量的完全平方,另一边是另一变量的一次项.(2)当对称轴为x轴时,方程中的一次项就是x的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:x的系数为正时开口向右,为负时开口向左.(3)当对称轴为y轴时,方程中的一次项就是y的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:y的系数为正时开
7、口向上,为负时开口向下.【巩固训练训练 】根据下列条件,求顶顶点在原点(0,0)处处的抛物线线的标标准方程.(1)焦点为为(-2,0).(2)准线为线为 y=-1.(3)焦点到准线线的距离是4.(4)过过点(1,2).【解析】(1)焦点在x轴的负半轴上, =2,即p=4,所以抛物线的方程是y2=-8x.(2)焦点在y轴正半轴上, =1,即p=2,所以抛物线的方程是x2=4y.(3)p=4,抛物线的方程有四种形式:y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.(4)点(1,2)在第一象限,要分两种情形:当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p0),则22=2p1,解得p=
8、2,抛物线方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py(p0),则12=2p2,解得p= ,抛物线方程为x2= y.类类型三 抛物线线的实际应实际应 用【典例3】河上有抛物线线形拱桥桥,当水面距拱顶顶5米时时,水面宽为宽为 8米,一小船宽宽4米,高2米,载货载货 后船露出水面的部分高 米,问问水面上涨涨到与抛物线线拱顶顶相距多少米时时,小船开始不能通航?【解题指南】【解析】如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意,将B(4,-5)代入方程得p= ,所以抛物线方程为x2= y.因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航;设此时船面宽为AA,则A(2
9、,yA),由22= yA,得yA= .又知船露出水面的部分高 米,设水面与抛物线拱顶相距为h,则h=|yA|+ =2(米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船开始不能通航.【方法总结】抛物线应用题的解法(1)抛物线应用题的解题关键:把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.(2)建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.【巩固训练训练 】某抛物线线形拱桥桥跨度是20米,拱桥桥高度是4米,在建桥时桥时 ,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长长支柱的长长.【解析】如图,建立直角坐标系,设抛物线方程
10、为x2=-2py(p0),依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,所以100=-2p(-4),2p=25,即抛物线方程为x2=-25y.因为每4米需用一根支柱支撑,所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB=- ,所以|AB|=4- =3.84,即最长支柱的长为3.84米.【补偿训练补偿训练 】如图图所示,一隧道内设设双行线线公路,其截面由长长方形的三条边边和抛物线线的一段构成,为为保证证安全,要求行驶车辆顶驶车辆顶 部(设为设为 平顶顶)与隧道顶顶部在竖竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线线的顶顶点
11、为为原点O,其对对称轴轴所在的直线为线为 y轴轴,建立平面直角坐标标系(如图图),求该该抛物线线的方程.(2)若行车车道总宽总宽 度AB为为7米,请计请计 算通过过隧道的车辆车辆限制高度为为多少米(精确到0.1米).【解析】如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p0),因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=10p,p=2.5,所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高h,则|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.【课课堂小结结】1.知识总结识总结2.方法总结抛物线标准方程的求法(1)定义法:建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.提醒:焦点位置不确定时,要对各种可能的情况分别进行讨论,以确定抛物线的方程.
