《湖南省怀化市湖天中学高中数学《2-2 数学归纳法的应用举例》课件 新人教版选修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省怀化市湖天中学高中数学《2-2 数学归纳法的应用举例》课件 新人教版选修2（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法及其应用举例数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 。 其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也 正确；假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论 点题找准起点 奠基要稳用上假设 递推才真写明结论 才算完整一、复习引入：1、数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可 靠的基础上，利用命题自身具有的传递性， 运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不 足，使我们认识到事
2、情由简到繁、由特殊到 一般、由有限到无穷.数学归纳法的核心思想例1、是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.例2、已知正数数列an中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:证:(1)当n=1时,=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.根据
3、(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例2、用数学归纳法证明: 能被8整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数. 那
4、么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x
5、+1) 因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除, 所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.例1、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何 三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。 k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1
6、)(k+1)-1=f(k+1),即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：练习:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)=f(n)+_.n-1(4)数学归纳法证明不等式问题：例1、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立. (2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例2、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设
7、当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.例3、求证:证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于故不等式成立. (2)假设n=k( )时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例4、已知x 1，且x0，nN，n2求证：(1+x)n1+nx.左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当n=k+1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明： （1）当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右n=1时不等式成立（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是例5、已知 求证 : . 证:(1)当n=2时, ,不等式成立. (2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即 则当n=k+1时, 有:即当n=k+1时,不等式成立. 由(1),(2)所证不等式对一切 都成立.
