《矩阵群逆的雅可比行列式计算及矩阵方程解的扰动分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵群逆的雅可比行列式计算及矩阵方程解的扰动分析（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、华东 理工大学 硕 士 学 位 论 文第 I 页矩阵群逆的雅可比 行列式计算及矩阵方程解的扰动分析摘要木文主要讨论了两部分的内容， 第一部分中作者给出了矩阵群逆的微分， 并将之应用于统计学。 主要结论如下: 设 X 是。 x n 秩为P 的矩阵，结构如下X 二X 1P X PX 2 1 -PI 入PX1 2p x ( n - q )X 2 2 ( n - P ) x ( , - P ) .r|1|际如?T X I I + X 1 2 X 2 1 杯1 可 逆，那么d X = IK I- 4 n + 2 p ( dX, I ) n ( d X 1 2 ) A ( d X 2 1 ) = IK I
2、- 4 n + 2 p d X其 中 : (X 1 1 ) = q 为 一 满 秩 方 阵 ， K 二 X 1 ， 十 X 2 X 2 1芍， 。如 黔满 足 矩 阵 变 量 奇 异 正 态 分 布 即 X 一 N x m ( N + E , 戴 , U 二 别 表 示 X 的 群逆 则U 的密度函数如下:d F u ( U ) =1 一 一万 一一 一k一 下 丁e x p ( 2 1r ) t ( 1 7 _ I 凡 ， ) ( rI j - l 刃)(一 告 E - (U “ 一 、 )n 一 (U 一 。 )IK 一 二 ” d U其 中 K 二 X I l + X 12 X 2 1芍
3、l第二部分内容作者运用广义条件数给出了矩阵力 一 程解的扰动分析。 主要结论如下: 设 T , 厂 =T + S T E B 怀 ， 均 ， ?C T -I T y ( T ) d i s t ( x , K e r T ) , H T E B ( X , Y ) 且x E X ( 1 - 5 )设￥ 和Y P ir. B a n a c h 空间， B (X , Y ) 是所有 X 到 Y 的所有有接线性算子组成 的 B a n a c h 空间， T E B ( X , Y ) ， 当 K e r T 在 X 以 及 R a n T 在 Y 中 有拓扑补时， T 有广义逆T + ， 即满足
4、，T T + T 二界T + T =P K T ,T 十 T T 十 T T + 二P R a n T ,其中 P ( Q ) 表 示 X 到 K e r T ( R a n 刘的 连 续 投影， K e r T 表示 K e r T 在 ￥ 中 的 拓扑 补。定义1 . 9 :如果T E B (X , Y ) ， 广义条 件 数定义 如 下K T =日 T JJY ( T ) 一 t第 6页华东理工大学硕士 学 位 论 文其中 7 ( T ) 为T 的 最小 约 化模: y ( T ) = in f ll T x ll I d i s t ( x , N ( T ) ) =1 , x E X
5、 . 如果T + 存 在， 那么定义广义条件数为K r+ =II T II 日 T 川引 理1 . 1 0 : 1 . 如果 T E B ( X , Y ) 且 R a n T 是闭 的， 那么K T = KT.;如果T E B (X , Y ) 是可 逆的， 那 么K T = IIA 11 IIA - II如果T E B (X , Y ) 存在广义逆T + ， 那么- Y 的集合， 在 以 下的内 容中我们仅讨论X 二x n , Y 二K m , T E K n x m 即 T 为矩阵的 情形， T 的 范数由下式给出II T II = s u p II T x 日 Ix ll对于B a n
6、 a c h 空间上的一致算子方程T X1 ,x E X .b , M.Z .N a s h e d 在文献 1 6 中给出 的 B a n a c h 空间中有界限性算子) 、一 义逆的扰动理论， 在文献f i t 作者中建立了上述 方程的解的 扰动理论， 后来 D i n g 和 H u a n g 则在文献 1 7 推广了 这一结果。 但是 所 有这些结果都是建立在T 有广义逆这个假设的基础之上， 也就是说K e r T 在X 中有拓扑补， 且R a n T 在Y 中有拓扑补， 但是众所周知不是B a n a c h 空间中每个闭子空间都一定具有拓扑补。 因此前述结果在T 不存在广义逆且
7、R a n T 为闭的情况下是无意义的。 在下面的内容中作者把B a n a c h 空间的线性算子限定于矩阵的情形之下， 以期能在相对简单的情形下以非广义逆的方式解决上述问题， 为将来问题在B a n a c h 空间中的解决做些有益的探索。设b E R a n T ， 下面我们将得到T 保秩的 情形下，在B a n a c h 空间中方程T x= b的一些扰动分析的结果。3 . 2 准备知识令 S ( X ) = x E X I IIX II =1 为 X 中 的 单 位 球 面， v (X ) J X 中 的 所 有线性子空间的 集合。 定义函数S : V ( X ) x V (X )
8、- - R + 如下S ( M , N ) = m a x d i s t (x , N ) I x E Mn s ( X ) ,华东理工大学硕 士 学 位论 文第 1 9页其中 M并 0 且S ( 0 , N ) =0 .引 理3 . 1 :设 M, N E P (X ) 。 那么我们有a ( M , 川=0 当且仅当 MC N ;如果8 ( M , N ) r a n k A , A E B (X , Y ) 见参考文献 1 0 推论2 . 4 0命 题3 . 3 :设 T , T 二 T + S T B (X , 粉 ， 且 r a n k T= r a n k T 。 则 y T _
9、y ( T ) 一 JI S T I卜证明:由 引 理3 .2 ( 2 ) , r a n k A _ IJT - 川 卜116 11 ! y ( T ) 一 13 T h ， 并 且 r a n k T = r a n k T r a n k A ， 故 由 引 理 3 .2 ( 2 ) , y ( 元全 y ( T ) 一 11S T I1 o.3 . 3 矩阵方程近似解的误差本 节 内 容 我 们 假 设 b E R a n T 0 , T = T 十 S T E 5 II T + S T ll llx - x ll 5 ( II T II + II 5 T II) Ilx - x ll
10、注意到 d i s t (x - x , K e r T ) =llx - x ll ， 我 们 有G日 x - x ll 0 。 任 给 0 , i- x , E S (T , b )使 得】瓜一 x e l I 3 y (T ) 所 以 当 。 。: 1 , 那么T x =b 和Ib 一 润I=: + 川是 不 确定的 。 二 d l s t ( 瓦 R a n 乃 的 最 小 范 数 解 为塑2塑2 尸lesll其中 ( p ) 二( 1 + 8 ) 声 门二。 t o T 二 n ) -1 1 I 。 、人1 产-. 、叼/同 时 有 7 ( T ) 一 IIT II 一 2 号 。
11、S T= T一T . S b=b 一b , 那么E b =。 川S 川 =2 E , E T =2v 。 因 为 K e r T = K e r T , 所以 由 定 理 3 .1 ,d ist(x_ S (T ,b)IIx- II、4 ( 1 + 2 p ) E1 一3 - 2 P Ellx m 一 x - 11 x m 4 ( l + 2 p ) e生l 一 ( P ) 1 一3 . 2 p e此处E 为一充分小量。第 2 6页华东理工大学硕士学 位论文参考文献川 王宗尧， 薛以 锋， 钱张军 应用泛函 分析 华东理工大学出 版社， 2 0 0 2 第一版. 2 张尧庭， 方开泰 多 元统
12、计分析引 论. 科学出 版社， 1 9 8 2 第一版. 3 A M M a t h a i . J a c o b i a n s a n d f u n c t i o n s o f m a t r ix a r g u m e n t ( S i n g a p o r e ; R i v e r E d g e , N J : W o r l dS c i e n t ifi c P u b , 1 9 9 7 .) 4 B e n - I s r a e l , A . a n d G r e v i l l e , T . N .E , G e n e r a l iz e d
13、I n v e r s e s : T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s . J o h nWi l e y s o n s , 1 9 7 4 . 5 Di a z - G a t c i a , J . A. , G u t i 6 r r e z J b i m e z , R ., a n d Ma r d i a , K. V( 1 9 9 7 ) . “ Wi s h a rt a n d P s e u d o -W i s h a r t d i s t r i b u t i o n s a n d s o m e a p p l
14、 i c a t i o n s t o s h a p e t h e o ry “ , J M u l t i v a r i a t e A n a l . 6 3 , 7 3 -8 7 6 D i a z - G a r c i a J . A . a n d G u t i 6 r r e z - J 6 im e z R . ( 2 0 0 3 ) . “ Wi s h a rt a n d P s e u d o - Wi s h a r t d i s t r i -b u t i o n s a n d s o m e a p p l i c a t i o n s t o
15、s h a p e t h e o ry 1 1 “ , C o m u n i c a c i b n T b c n i c a N o . I - 0 3 - 0 1( P E / C I MA T ) , h t t p :/ / w w w .c i m a t .m x l b i b l i o t e c a / R e p T e e - 7 J o s 6 A . Di a z - G a r c i a a n d R a m o n G u t i b r r e z - J 6 i me z . P R O O F O F T H E C O N J E C T U
16、R E S O F H.G HL I G ON T HE S I NGU L AR MU LT I V AR I AT E B ET A A ND T HE J ACOB I AN OFA C E RT AI TM A T R I X T R A N S F O R M A T I O N . T h e A n n a ls o f S t a : ,s t i c s 1 9 9 7 , V o l . 2 5 , N o . 5 , 2 0 1 8 - 2 0 2 3 8 J o s 6 A . D i a z - G a r c i a , R a m b n G u t i 6 r r e z - J 6 i m e z a n d R a m 6 n G u t i , r r e z - S 6 n c h
