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1、1数列通项公式的求法数列通项公式的求法一、定义法一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适 应于已知数列类型的题目应于已知数列类型的题目例例 1 1等差数列是递增数列，前 n 项和为，且成等比数列，求 nanS931,aaa2 55aS 数列的通项公式. na解：设数列公差为 na)0(dd成等比数列，即931,aaa912 3aaa )8()2(112 1daadadad12， 0dda 1 2 55aS 2 11)4(2455dada由得：， 】531a53dnnan53 53) 1(53点评
2、：点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写 出通项。二、公式法二、公式法 若已知数列的前若已知数列的前n项和项和与与的关系，求数列的关系，求数列的通项的通项可用可用nSna nana公式公式求解。求解。 2111 nSSnSannn例例 2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。 nannS1,) 1(2naSn nn na解：由1121111aaSa当2n时，有,) 1(2)(211n nnnnnaaSSa1 122 ( 1),n nnaa ,) 1(222 21 n nnaa，. 2212 aa11221 122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnn
3、naa L.) 1(2 323) 2(1 2) 1(2)2() 2() 2() 1(2121 1211 nnn nnnnnnL经验证也满足上式，所以11a) 1(23212nn na点评：利用公式点评：利用公式求解时，要注意对求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能分类讨论，但若能 211nSSnSannn n合写时一定要合并合写时一定要合并2三、由递推式求数列通项法三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为 等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。等差数列或等
4、比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型类型 1 递推公式为递推公式为)(1nfaann解法：把原递推公式转化为解法：把原递推公式转化为，利用累加法，利用累加法(逐差相加法逐差相加法)求解。求解。)(1nfaann(2004 全国卷 I.22)已知数列中,其中 na12211,( 1) ,k kkaa 且a2123kkkaa，求数列的通项公式。1,2,3,k na例例 3. 已知数列满足，求。 na211annaann211na解：由条件知：111 ) 1(1121nnnnnnaann分别令，代入上式得个等式累加之，即) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n)()()
5、()(1342312 nnaaaaaaaa)1 11()41 31()31 21()211 (nn 所以 ， naan111211aQnnan1 231121类型类型 2 （1）递推公式为）递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法，利用累乘法(逐商相乘法逐商相乘法)求解。求解。)(1nfaann(2004 全国卷 I.15)已知数列an，满足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项1 _na 1 2n n 例例 4. 已知数列满足，求。 na321annanna11na解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘
6、11 nn aann) 1( , 3 , 2 , 1 nn) 1( n3之，即1342312 nn aa aa aa aa nn 1 43 32 21 naan11又， 321aQnan32（2） 由由和和确定的递推数列确定的递推数列的通项可如下求得：的通项可如下求得：nnanfa)(11a na所以， ，依次向前代入，得1) 1(nnanfa21)2(nnanfa12) 1 ( afa ，1) 1 ()2() 1(afnfnfan （3）.递推式：递推式： nfpaann1解法：只需构造数列解法：只需构造数列，消去，消去带来的差异带来的差异 nb nf例例 5设数列：，求. na)2( ,
7、123, 411nnaaannna解：设，将代入递推式，得BAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12) 1(31nBnAbBAnbnn) 133()23(31ABnAbn 13323ABBAA 11BA（）则,又，故1nabnn取13nnbb61b代入（）得nn nb32361132nan n说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由)(nfnCBnAnabnn2,（）两式相减得1231naann1) 1(2321naann3n转化为求之.2)(3211nnnnaaaaqpbbnn1例例 6已知， ，求。31annanna23131) 1( nna4解：12313 223123
8、2)2(31)2(3 2) 1(31) 1(3ann nnan 34 375 26331 348 531nn nnn L 。类型类型 3 递推公式为递推公式为（其中（其中 p，q 均为常数，均为常数，） 。qpaann1)0) 1(ppq解法：转化为：解法：转化为：，其中，其中，再利用换元法转化为等比数，再利用换元法转化为等比数)(1taptannpqt1列求解。列求解。(2006.重庆.14）数列中，若，则通项 na111,23(1)nnaaanna例例 7. 已知数列中，求. na11a321nnaana解：设递推公式可以转化为即.321nnaa)(21tatann321ttaann故递推
9、公式为,令，则,且)3(231nnaa3nnab4311 ab.所以是以为首项，2 为公比的等比数列，则23311nnnn aa bb nb41b, 所以.11224nn nb321n na类型类型 4 递推公式为递推公式为（其中（其中 p，q 均为常数，均为常数，n nnqpaa1） 。 （或（或,其中其中 p，q, r 均为常数）均为常数）)0) 1)(1(qppq1n nnaparq（2006 全国 I.22） （本小题满分 12 分）设数列的前项的和， nan14122333n nnSa1,2,3,n g g g（）求首项与通项； 1ana解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要
10、先在原递推公式两边同除以，得：1nqqqa qp qann nn111引入辅助数列引入辅助数列（其中） ，得：再应用类型 3 的方法解决。 nbnn nqab qbqpbnn115例例 8. 已知数列中，,，求。 na651a1 1)21(31 n nnaana解：在两边乘以得：1 1)21(31 n nnaa12n1)2(32211 nn nnaa令，则,应用例 7 解法得：nn nab 21321nnbbn nb)32(23所以nn nn nba)31(2)21(32类型类型 5 递推公式为递推公式为（其中（其中 p，q 均为常数）均为常数） 。nnnqapaa12解法：先把原递推公式转化
11、为解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中其中 s，t 满足满足，再应用前面类型，再应用前面类型 3 的方法求解。的方法求解。 qstpts（2006.福建.理.22） （本小题满分 14 分）已知数列满足 na* 111,21().nnaaanN（I）求数列的通项公式； na例例 9. 已知数列中，,，求。 na11a22annnaaa31 3212na解：由可转化为nnnaaa31 3212)(112nnnnsaatsaa即或nnnstaatsa12)( 3132stts 311ts131ts这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试） ，则 311ts131ts是以
12、首项为，公比为的等比数)(31112nnnnaaaannaa1112aa31列,所以,应用类型 1 的方法，分别令，代入上式1 1)31( n nnaa) 1( , 3 , 2 , 1 nn得个等式累加之，即) 1( n210 1)31()31()31( n naa311)31(11 n6又，所以。11aQ1)31(43 47n na类型类型 6 递推公式为递推公式为与与的关系式。的关系式。(或或)nSna()nnSf a解法：利用解法：利用进行求解。进行求解。 )2() 1(11 nSSnSannn(2006.陕西.20)头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (本小题满分 12 分)已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 例例 10.数列前 n
