《湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、研究生课程考试命题专用纸第 1 页 共 19 页湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011 级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120 分钟注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。一填空题（每小题 5 分，共 30 分）1. 用作为圆周率的近似值时，有 位有效数字。355 1133.14159265L2. 要使迭代法局部收敛到 则的取值2( )(5),xxx1()kkxx*5 ,x 范围是 .3. 若 则谱条件数 .12,21A1 222( )CondAAA4. 设设为为个互异的插值节点，个互异的插值节点，为为01,n
2、xxxL1n()( )(0,1, )()j i j iijxxl xinxxL拉格朗日插值基函数，则拉格朗日插值基函数，则.10(0)n n ii ilx5. 已知实验数据ix0123iy1245则拟合这组数据的直线为 .y 6. 要使求积公式具有 2 次代数精度，则11101( )(0)( )4f x dxfA f x， 1x 1A 研究生课程考试命题专用纸第 2 页 共 19 页二( 11 分分) 给定方程32( )360.f xxx(1) 证明该方程在区间内存在唯一实根(1, 2)*;x(2) 用牛顿迭代法求出的近似值，取初值 要求*x01.5,x 5 110.kkxx 三( 10 分分
3、) 用高斯列主元素消去法解线性方程组12312320 1128. 2419x x x 四(10(10 分分) ) 给定线性方程组1232111 1111 , 1121x x x 写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。五(13(13 分分) ) 试根据数表ix102iy101416iy11研究生课程考试命题专用纸第 3 页 共 19 页构造 Hermite (埃尔米特)插值多项式( ).H x六(10(10 分分) ) 求常数使积分 取最小值。, 1220xexxdx七(16(16 分分) ) 用龙贝格方法求积分311Idxx的近似值，要求误差不超过310 .工程数学试题
4、参考答案研究生课程考试命题专用纸第 4 页 共 19 页一 (1) 7 ; (2) ; (3) 3 ; (4) ; 0,51 nnxxxL10) 1(5) ; (6) x4 . 19 . 0.43,32 11Ax二 解. (1) 因为所以由零, )2, 1(063)(,014)2(,02) 1 (, 2, 1 )(2xxxxfffCxf点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4 分分)2,1(.*x(2) 牛顿迭代格式为(7 分分)., 2, 1 , 0, 6363263632232231L k xxxxxxxxxxkkkkkkkkkk取初值 计算结果如下：,5 . 10xk01234kx1
5、.51.2380951.1968151.1958241.195823(11 分分)5* 43410,1.195823.xxxx三解. (2 分)123202419 11281128 241912320 (4 分) (5 分)2419 570322 5490422 2419 5490422 570322 研究生课程考试命题专用纸第 5 页 共 19 页(7 分)2419 5490422 351750088 等价的上三角形方程组为回代得 (10 分分)123233249 , 5494,22 35175.88xxxxxx 3215,3,1.xxx 四. 解. 雅可比迭代格式为(1)( )( ) 12
6、3(1)( )( ) 213(1)( )( ) 312112 1(3) 112kkkkkkkkkxxxxxxxxx 分雅可比迭代矩阵(5 分)11022 101 , 11022JB 其特征方程 的特征值11|0 ,22JEB JB(8 分分) 因为谱半径 所以雅可比迭代法收敛。 (1012,310,.2 11,2JB分分)五五列表计算差商研究生课程考试命题专用纸第 6 页 共 19 页ix( )if x一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商110110101443216114 32161104 9(10 分分)(13 分分)22244( )10(1)3(1)(1)(1)(2).39H xxxx xx
7、x x六六解. 取 定义内积2 01( ),( ),( );xxxxxf xe10,( ) ( ),( ),( )0,1,fgf x g x dxf xg xC则12 0001,3x dx13 0101,4x dx100,1,xfxe dx(5 分分)14 1101,5x dx12 10,2.xfx e dxe正规方程组为(8 分分) 111 34 11245e 解得(10 分分).537454. 222080,903090. 416860ee 研究生课程考试命题专用纸第 7 页 共 19 页七七. . 解解. 计算结果见下表k0( )T k1(1)T k 2(2)T k 3(3)T k 01
8、.333333311.16666671.111111221.11666671.10000001.099259331.10321071.09872541.09864041.0986306(14 分分)因为 所以 (16 分分)33 32(0)(0)0.6287 1010,TT1.0986306.I 湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学(A 卷) 专业年级：2014 级专业型硕士研究生研究生课程考试命题专用纸第 8 页 共 19 页考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120 分钟注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。三填空题（每小题 4 分，共 20
9、分）1. 设 则导数值有 位有效数字。,)(xxf353101. 0)2( f2. 若 则 ，条件数 .,3201,11 Ax1| Ax( )CondA3. 设，则差商 ， .13)(2 xxf2, 1 f0,1,2,3f4. 拟合三点的直线是 .)2, 2(, )3, 1 (, ) 1, 0(CBAy5. 参数 时，求积公式的代数)()0()()0(2)(20hffhhffhdxxfh精 度达到最高，此时代数精度为 .四(12 分) 给定方程.2xex(3)证明该方程在区间内存在唯一实根) 1, 0(*;x(4)写出牛顿迭代法求的迭代格式；*x(5)若取初值 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出
10、收敛阶数。, 10x3( 12 分) 用三角分解法解线性方程组 .343112253321321 xxx四( 16 分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组研究生课程考试命题专用纸第 9 页 共 19 页 3213215010010bbbxxx时，对任意初始向量都收敛的充要条件. 五(16(16 分) ) 用插值法求一个二次多项式 使得曲线在处与曲线),(2xP)(2xPy 0x相切，在处与相交，并证明xycos2xxycos.324|cos)(|max3220xxPx六(12(12 分) ) 求在上的一次最佳平方逼近多项式。 xxexf)( 1, 07(12(12 分) )
11、 已知函数表请分别用的复化梯形公式和的复化辛浦生公式计算积分的8n4n10)(dxxfx00.1250.2500.3750.500)(xf10.99739780.98961580.97672670.9588510x0.6250.7500.8751)(xf0.93615560.90885160.87719250.8414709研究生课程考试命题专用纸第 10 页 共 19 页近似值.（取 7 位浮点数）工程数学试题(A 卷)参考答案一 (1) 3 ; (2) ; (3) ; (4) ;5,60, 923 21x(5) . 3,1212 解. (1) 因为在上连续，并且2)(xexfx)1, 0(
12、, 1, 001)(, 01) 1 (,01)0(xexfeffx所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根 (4 分分)1,0(.*x(2) 牛顿迭代格式为(8 分分)., 2, 1, 0,121Lkexexx kkxkxkk 因为 所以牛顿迭代法收敛， ,)1, 0(0)( xexfx,0) 1 () 1 ( ff且收敛阶为2. (12 分分)三. 解. 用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得562852137133321于是得( 9 分分). 56133 , 2800710321 , 152013001 yUL回代求解上三角形线性方程组 得原方程组的解为,Uxy. 1, 1,2123xxx研究生课程考试命题专用纸第 11 页 共 19 页即 ( 12 分分). )2, 1, 1 (),(321xxx4解. 雅可比迭代矩阵,050100100100)(1ULDBJ其特征方程为( 4 分分),01003|2 JBE的谱半径 所以 J 法收敛的充要条件是. (8 分分)JB,10|3)(JB3100|赛德尔迭代矩阵,50500010100001000000000500100010)(211
