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1、高考总复习：复数高考总复习：复数【考纲要求考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络知识网络】【考点梳理考点梳理】考点一、复数的有关概念考点一、复数的有关概念1.1.虚数单位虚数单位 : :i（1）它的平方等于，即；121i （2） 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根ii21x 21x 是；i（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算
2、时，原有加、乘运算律仍然成立；（4） 的周期性：，（）.i41ni41nii421ni 43nii *nN2.2. 概念概念形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。abi, a bRab说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。, a bR3.3.复数集复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：CNZQRC4.4.复数与实数、虚数、纯虚、复数与实数、虚数、纯虚、0 0 的关系：的关系：对于复数（） ，zabi, a bR当且仅当时，复数是实数；0b zabia当且仅当时，复数叫做虚数；0b zabi当且仅当且时，复数叫做纯虚数；0a 0b zab
3、ibi当且仅当时，复数就是实数 0.0ab0zabi所以复数的分类如下:（）zabi, a bR(0)(0)00bbab实数；虚数当且时为纯虚数5.5.复数相等的充要条件复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果，那么., , ,a b c dRabicdiacbd且特别地: .00abiab应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复
4、数全是实数时才能比较大小。 6.6.共轭复数：共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数和（）互为共轭复数。zabizabiabi, a bR考点二：复数的代数表示法及其四则运算考点二：复数的代数表示法及其四则运算1.1.复数的代数形式复数的代数形式: : 复数通常用字母表示，即（） ，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。zabi, a bRabi2.2.四则运算四则运算；()()()()abicdiacbd i；()()()()abi cdiacbdbcad i复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。2222()() ()()abiabi cdiacb
5、dbcadicdicdi cdicdcd考点三：复数的几何意义考点三：复数的几何意义1.1. 复平面、实轴、虚轴：复平面、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角Zabzabi, a bR( , )Z a b坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。xy实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除(0,0)000zi了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集 C C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点zabi 一一对应( , )Z a b这是因为，每一个复数有
6、复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2.2.复数的几何表示复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（） ；( , )Z a bzabi, a bR（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.O( , )Z a bOZzabi向量的长度叫做复数的模，记作.即.OZzabi|abi22| |0zOZabuuu r要点诠释要点诠释: :（1）向量与点以及复数有一一对应；OZ( , )Z a bzabi（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小
7、。3.3.复数加法的几何意义：复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角1z2z1OPuuu r2OPuuu r1OP2OP12OPSP线表示的向量就是的和所对应的向量。OSOSuu u r12zz4.4.复数减法的几何意义：复数减法的几何意义：两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。12zz要点诠释要点诠释: :1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用 i 的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的
8、有关概念和两个复数相等的充要条件。【典型例题典型例题】类型一：复数的有关概念类型一：复数的有关概念【例 1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：22lg(22)(32)zmmmmimz(1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限。zz【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。【答案】 (1)当即时，复数是纯虚数；22lg(22)0320mmmm3m z(2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第22lg(22)0320mmmm113m 133mz二象限.【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等
9、价表达式要熟知。比如：zabiR0b zz()；是纯虚数（）； 20z , a bRzabi00ab且0zz0z 20z 举一反三：举一反三：【变式 1】复数为纯虚数，则实数 a 为( )1 2ai i A2 B2 C D. 1 21 2【答案】A【解析】，1(1)(2)221 2(2)(2)55aiaiiaaiiii由纯虚数的概念知：0，a2.2 5a【变式 2】求当实数取何值时，复数分别是：m22(2)(32)zmmmmi（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。【解析】 （1）当即或时，复数为实数；2320mm1m 2m z（2）当即且时，复数为虚数；2320mm1m 2m z（3）当即
10、时，复数为纯虚数.0230222mmmm1m z【变式 2】已知复数满足且,则复数（ ）z| 1z 21z 12zzA.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数【答案】法 1 设（） ，有,.zabi, a bR221ab0a 则，故应选 C。22221 121222zabiabiRzaabibaabia法 2 ,.2|1z zz221 1()zzzRzzz zz zzzz 法 3 ， .2|1z zz221 1(1)zz zRzzzzz类型二：复数相等类型二：复数相等【例 2】已知集合 M=（a+3）+（b2-1）i,8,集合 N=3， （a2-1）+(
11、b+2)同时满足MNM，MN，求整数 a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。【解答】2(3)(1)3abii依题意得或28(1)(2)abi或223(1)1 (2)abiabi 由得 a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2 不合题意，舍去。a=-3，b=2由得 a=3, b=-2.又 a=-3,b=-2 不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。222231401230aaaabbbb 即综合得 a=-3，b=2 或 a=3,b=-2。【总结升华】1、a+bi=c+di.( , , ,)aca b c dRbd2、利用复数
12、相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数 z，如果没有给出代数形式，可设 z= a+bi(a,bR)。举一反三：【变式】已知复数 z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数 z2的虚部为 2，且 z1z2是实数，求 z2.【解析】设 z2=a+2i(aR)，由已知复数 z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得 z1=2-i，又已知 z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i 是实数，则虚部 4-a=0，即 a=4，则复数 z2=4+2i.类型三：复数的代数形式的四则运算类型三：复数的代数形式的四则运算【例
13、 3】计算：(12 )(34 )ii【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。【解析】 2212(12 )(34 )3 8645 1012(12 )(34 )34(34 )(34 )342555iiiiiiiiiiii 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。21i 举一反三：举一反三：【变式 1】8)3122(ii【答案】：原式=8)23 211(iiiiiiiiiiii38843 41388)23 21)(23 21()23 21(1623 21)2()23 21()23 21()1(422342 【变式 2】复数( )5 1 2i i.2i
14、 B.1 2i C.2i D.12i 【解析】选 C 解法一： 55 (12 )1052.1 2(1 2 )(1+2 )5iiiiiiii 解法二：验证法 验证每个选项与 1-2i 的积，正好等于 5i 的便是答案.【例 4】已知 z1，z2为复数，(3i)z1为实数，且|z2|求 z2.1 2zz2i,5 2【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，|z2|5 2|z2(55i)|50，z2(55i)50，25010z55i .55i1i【总结升华】1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)2=2i；1i1iabiiibai1i1ii ;i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nN).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并
