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1、1高一数学求函数的定义域与值域的常用方法高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出 y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数 fg（x） 的表达式，求 f（x）的表达式时可以令 tg（x） ，以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出 f（x）和 f（x） ，或 f（x）和 f（1/x）的一
2、个方程，则可以 x 代换x（或 1/x） ， 构造出另一个方程，解此方程组，消去 f（x） （或 f（1/x） ）即可求出 f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等 式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围， 最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义
3、域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数， 等等； 4、对复合函数 yfg（x） 的定义域的求解，应先由 yf（u）求出 u 的范围，即 g（x）的范围，再从中解 出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域 I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述 结论时分别说明； 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该 函数的定义域；一：求函数解析式一：求函数解析式
4、 1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 1. 已知2211()xxxfxx ，试求( )f x。解：解：设1xtx ，则1 1xt，代入条件式可得：2( )1f ttt ，t1。故得：2( )1,1f xxxx。 说明：说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。 2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求 解。例 2. （1）已知21( )2 ( )345f xfxxx ，试求( )f x；（2）已知2( )2 ()345f xfxxx，试求( )f x；解：解：（1）由条件式，以1
5、 x代 x，则得2111( )2 ( )345ff xxxx ，与条件式联立，消去1fx，则得： 2 22845 333xf xxxx 。2（2）由条件式，以x 代 x 则得：2()2 ( )345fxf xxx，与条件式联立，消去fx，则得： 2543f xxx 。 说明：说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定， 不需要另外给出。 例例 4. 求下列函数的解析式： （1）已知是二次函数，且，求；)(xf1)() 1(, 2)0(xxfxff)(xf（2）已知，求，；xxxf2) 1()(xf) 1( xf)(2xf（3）已知，求；xxx
6、xxf11)1(22 )(xf（4）已知，求。3)(2)(3xxfxf)(xf【思路分析思路分析】【题意分析题意分析】 （1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。)(xf)0()(2acbxaxxfcba,（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。xx21x（3）设为一个整体，不妨设为 ，然后用 表示，代入原表达式求解。xx1ttx（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了。xx)(xfxx)(xf)( xf 【解题过程解题过程】设，由得，)0()(2acbxaxxf, 2)0(f2c由，得恒等式，得。1)() 1(xxfxf12xbaax23,21ba故所求函数的解
7、析式为。223 21)(2xxxf（2），1) 1(112)(2) 1(22xxxxxxfQ又。) 1( 1)(, 11, 02xxxfxxQ（3）设，1,11,1ttxtxx则则1) 1() 1(111111)1()(22 222 ttttxxxxx xxftf所以。) 1( 1)(2xxxxf（4）因为 3)(2)(3xxfxf用代替得 xx3)(2)(3xxfxf解式得。53)( xxf【题后思考题后思考】求函数解析式常见的题型有： （1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；)0(2acbxaxykhxay2)()(21xxxx
8、ay（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2） （3） ；)(xgf)(xf（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4） 。若函数方程中同时出现，则一)(xf)(xf)1(xf般将式中的用代替，构造另一方程。xx1特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。3二：求函数定义域二：求函数定义域 1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量 所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 3. 求324xyxx的定义域。解：解：由题意知：204xx，从而解得：x2 且 x4.故所求定义域为：
9、x|x2 且 x4。 例 2. 求下列函数的定义域：（1）； （2）35)(xxxfxxxf11)(【思路分析思路分析】 【题意分析题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为 零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程解题过程】 （1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即 35,0305xx xx即。故函数的定义域为.当然也可表示为53, 33, 3xxx或或5 , 3()3 , 3()3,(UU 。5x3, 33, 3或或xxx（2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为。1,11,0101 xxx xx所以即1x|x【题后思考题后思考】求函数
10、的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定 义域为解各限制条件所得的的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定x 义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。U2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例 4. 已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435617 解：解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数 f（u）的定义域可以确定内函数 g（x）的范围，从而解得 xI1，又 由 g（x）定义域可以解得 xI2.则 I1I2即为该复合
11、函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2( )3, ( ),( ( ) 43xf xxg xyf g x xx 例8 已知求的定义域.解：解：2( )33( )33 43xf xxxg x xx 由 又由于 x24x30 * 联立*、*两式可解得： 93 393 3134493 393 3|1344xxxxx或故所求定义域为或4例 9. 若函数 f（2x）的定义域是1，1 ，求 f（log2x）的定义域。 解：解：由 f（2x）的定义域是1，1可知：212x2，所以 f（x）的定义域为21，2 ，故log2x21，2 ，解得24x，故定义域为2,4。三：求函数的值域与最值三：求函
12、数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将 学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法例 11. 求函数23 1xyx的值域。解：解：2112312111xxyxxx，因为101x，故 y2，所以值域为y|y2。 说明：说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量 x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法 例 12. 求函数 y2x24x 的值域。 解：解：y2x24x2（x22x1）22（x1）222，故值域为y|y2。 说明：说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的
13、，对于可以化为二次函数的函数的 值域也可采用此方法求解，如 yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例 13. 求函数2223 456xxyxx的值域。解：解：2223 456xxyxx可变形为：（4y1）x2（5y2）x6y30，由 0 可解得： 266 3 266 3,7171y 。说明：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义 域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此 法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个 关于 x
14、的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故 0。4、单调性法例 14. 求函数23yx ，x4，5的值域。解：解：由于函数23yx 为增函数，故当 x4 时，ymin25；当 x5 时，ymax513，所以函数的值域为5 13,2 5 。5、换元法例 15. 求函数24 1yxx的值域。5解：解：令10tx，则 y2t24t2（t1）24，t0，故所求值域为y|y4。例例 3. 求下列函数的值域： （1）5 , 4 , 3 , 2 , 1, 12xxy（2）1xy（3）2211 xxy（4）)25( , 322xxxy【思路分析思路分析】 【题意分析题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数A ，其值域就是指集合；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。)(xfy Ax),x(fyyC【解题过程解题过程】 （1）将的值域为。，1x2y5 , 4 , 3 , 2 , 1x中计算分别代入得出函数1,19,5,73，（2），即所求函数的值域为或用换元法，令的11, 0xxQ), 1 )0( 1),0(ttytxt值域为。), 1 （3）函数的定义域为 R。,12111222xxxyQ。 1 , 1(y, 2x120, 1x122yxy
