《分析方法例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分析方法例题（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定义证明用例N 1 31 4235lim22nnnnn)42(39195 )423(3195 31 42352222 nnn nnn nnnnQ证明有时当,4nnnn nnn1 95 )42(39195 22,1,1, 0nn解得由对,1, 4max N于是取有时则当,Nn 111 31 423522nnnnn31 4235lim22 nnnnn定义证明用例N 2. 1limnnn, 1 n nnh令证明nn nhnh1, 0则 .2) 1(112Lnnn nhnnnhhn,2) 1(,22 nhnnnn有时于是当12,122 nhnhnn.21,12, 02nn解得由对于,21 , 2max
2、2 N于是取有则,Nn , 1212 1212 nhnnn. 1lim nnn), 2 , 1( 0 3Lnan设例,limaan n 语言证明用N.limaann 0.lim , 0 aaannnQ证明 ,002nnaa .0na.00lim nna, 0) 1 (a若有则, 0NnNN, 0)2(aaaaaaaaaannn nQ若,limaan n 再由有则, 0NnNN ,aaan,aaNnn有从而.limaan n , ,lim 221 naaaxan nnn L设例.lim nnx证明 ,lim nnaQ证明, 2, 011AaNnNNAn，有则 有从而,1Nn naanaaaxnN
3、N nLL12111),2(1AnNn nM. 121NaaaML,0limnMnQ. 1, 1nM nM有则对, 1220NnNN，又2)2(lim1AAnNnnQ 有则对, 1330NnNN, 1)2()2(1AAnNn, 11)2()2(1AAAnNn有，则取NnNNNN321, ,11AAxn .lim nnx. ,lim 3Raaan n 设例,21221 nnaaaxn nLL.lim axn n 证明,lim aannQ证明有则对, 011NnNN,aan 有于是,1Nn annaaaaxn nLL 21221naanaaNaaNaaaanNN LLL21)()(1(211121
4、112) 1(12) 1(21112111 nnaanaaNnnaaNaaaanNNLL.2 2)1(1121aaNaaaaMnnM NL.02)1(limnnMnQ.2)1(,022nnMNnNN有则对以上 有则取NnNNN,max21 .2 axn .limaxnn,lim ,lim 4bbaannnn 设例,1121 nbababaxnnn nL. lim:abxn n 证明 nkknknbanx 111证明 nkknnkknkabnbaan11 111)(1.nnJI ,limlim21abnbbbaJn nnnL 收敛，从而有界，即再由于nb , 0NnM.Mbn有,1 naaaaM
5、In nL从而 , 0lim aan n再由.0lim1 naaaannL, 0lim nnI.limlimlimabJIxnnnnnn 其其中中,lim 5aan n 设例),(21 11 00 nn nnnnnaCaCaCxL.limaxn n 证明,2 10nn nnnCCCLQ证明, )()()(21 11 00aaCaaCaaCaxnn nnnnnL则 ,limaan n Q，则对0,11NnNN，有aan，有从而1Nn aaCaaCaxNN nnnn 11 00 21L .21 1111aaCaaCnn nNN nnL aaaaaaMN 1,max10L，有则1Nn 110 2N
6、nnnnnCCCMaxLn nN nnCCL11 21.)(2110N nnnnCCCML令令1N1Np ,!2!2) 1() 1( 2pn ppnnnCnpnnp nL,!21nnppn 21!2 !21limlim11pnnpnnnnnp pn uu0!2lim pnnpn02lim np nnC0)(2lim110 N nnnnnCCCML.)(2M, 0110 22N nnnnCCCNnNNL有 ,max21NNN 取，有则2axNnn .limaxn n 上上式式中中为为取取定定的的自自然然数数，对对任任意意自自然然数数有有考考虑虑正正项项级级数数由由比比值值判判别别法法于于是是级级
7、数数收收敛敛，从从而而有有从从而而对对以以上上,lim 2axn n 设例.3331 21 nnn nxxxyL .lim,nnnyy 并求收敛证明,333311 31 21 1 nnnn nxxxxyL证明.33331 21 11nnn nnxxxxy L，于是nnnyxy113nnnyyx113,31nnnyyx .2ba 令,limaxn n Q有，则对, 011NnNN.axn ,)()(32311bybybyynnnn ，于是bybynn13bybynn131 3从而byn 231 331 3Lbyn 22231 33byNNnNn111313332LbyNNn 11313113.3
8、1 211byNNn，又031lim 11byNNnnQ有则对以上, 022NnNN .23111byNNn，取21,maxNNN ，有则bNnny.2limabyn n :, 4满足条件设数列例nnba10 ), 2 , 1( 1qnqabannnL ,) 1 ( 有界则有界若证明nnab)( , ) 1 ( 111nnnnnnqabqbqaban 有对于任意自然数证明12 1nnnaqqbb)(222 1nnnnqabqqbb L23 22 1nnnnaqbqqbb 1111 33 22 111aqbqbqbqqbbnnnn nnnn L , 0,11MbNnMbnn有即有界Q ,max,
9、11aMM 取于是 ,112 1qMMqqqan nL则有 .有界nannnn nnnnnn 1122lim12lim2 1211112 lim212lim nnnnnnnn nnnsin1sinlim21sin21cos2limnnnnn121cosnnnnnnnnn0121 21 21sin例例4 例例5求求 解解:根根据据和和差差化化积积公公式式:而而所所以以,原原式式=0.原原式式= .lim ,sin! !2! !12622nnnAnnnA 求设例 127532642264212531! !2! !12nnnnnnanLLLL令解12112212 65 43 211 nannnnL1
10、2102 nan, 0lim2 nna.0limsin2 nnAn有界，而.!1lim 1nnn求例,!1 !1n nnn解，而0! 1! 11lim nnn0!1lim nnn.lim 2nnn 求例, 11lim nnnQ解1 nnnim.!lim 3nnnn求例，解nnnnn nn ! ! ，令! n nann .11lim! ! 11limlim1 1ennn nn aannnnnnnn 则 .! limennnn nxn1 31 211L，有证明Npn, pnnnxxnpn1 21 11Lpnp .021 22n nn pnpnp时有，当取，于是021 0，使得对npNnNN,0np
11、nxx .发散由柯西准则知nx例例3 证证明明数数列列发发散散. 上可微，在设例,)( 3xf, 1)(,xfx有且 ),(,)(cxf存在唯一一点上存在唯一不动点，即在证明，作任意取定证明), 2, 1( )(),( 10Lnxfxxnn1111)()()(nnnnnnnnxxxxfxfxfxx则有 .,1必收敛为压缩数列之间，所以与在其中nnnxxx于是有从而连续可微由于取极限对设,)(,)(,lim1xfxfxcxnnnn则即还有不动点为不动点，假设所以,)(,)(),(c ccfcccxfccfccccccfcfcfcc)()()(矛矛盾盾，从从而而不不动动点点唯唯一一.)(ccf使得),2(212 21212,21212,212, 2 4321个设例naaaan OL .,并求极限收敛证明na 有，又显然证明,2 Nnan 111212nnnnaaaa1 1114111 nn nnnnnnaaaaaaaa 解得取极限对必收敛为压缩数列所以,12,1 nnnaaa 21lim nna .,), 2, 1 , 0( 11, 1 510并求极限收敛，证明设例n nnxnxxxL1322111 11 111 21 1
