闭环零极点及偶极子对系统性能的影响

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1、闭环零极点及偶极子对系统性能的影响闭环零极点及偶极子对系统性能的影响1.1.综述综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性；稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。在本文中，采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件 matlab 通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃

2、响应、斜坡响应及速度响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。 2.2.稳定性分析稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为 S 平面的左半部分（不包括虚轴） 。因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部，而不必关心系统的零点情况。若系统的极点都具有负实部，则系统是稳定的。否则，系统就不稳定。为了用 matlab 对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义

3、，下面用函数作为扰动来讨论系统的稳定性。如果当 t 趋于时，系统的输出响应 c(t)收敛到原来的零平衡状态，即 ，该系统就是稳定的。设系统的闭环传递函数为:当系统分别增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，1/(s-2)，(s+3)/(s+3.01)，(s-3)(tlim ( )0 tc t 2s10=(1)(22)sss/(s-3.01)等环节时，画出各自的冲激响应曲线如图 1.注：matlab 源程序见附录 1.图 1由以上 matlab 仿真结果可以看出，当增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，(s+3)/(s+3.01)等环节时，c(s)最终能收敛到原来的零平衡状态，系统稳定

4、。而当增加 1/(s-2),(s-3)/(s-3.01)等环节时，c(s)最终趋于无穷，系统不稳定。完全符合上述讨论。 3.3.动态性能分析动态性能分析3.13.1 线性高阶系统的数学模型线性高阶系统的数学模型高阶系统的闭环传递函数一般表示为：设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此） ，单位阶跃响应的拉氏变换式为： 对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为：闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分

5、量。从 c(t)的表达式还可以看出，各暂态分量的具体值还取决于其模的大小，有些分量虽然衰减慢，但模值小，所以对超调量等影响较小，而有些分量衰减得稍快些，但模值大，所以对超调量等影响仍然很大。因此，系统的零极点的分布对系统的影响如下：若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较小。若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。这样的零1 1101 1 1101()( )( )( )()mmmi mmi nnn nn i ikszb sbsbsbM ssD sa sasa sasp L L1(0) 1( )1( )(0)( ) iniispMM sC sDssD sspp=-1

6、,-1+i,-1-i; num=poly(z); den=poly(p); impulse(num,den); xlabel(t); ylabel(c(s); title(冲激响应曲线);%增加(S+5)的冲激响应 z1=-10,-5; p1=-1,-1+i,-1-i; num1=poly(z1); den1=poly(p1); figure(2); subplot(2,3,1) impulse(num1,den1); xlabel(t); ylabel(c(s); title(s+5);%增加(S-5)的冲激响应 z2=-10,5; p2=-1,-1+i,-1-i; num2=poly(z2

7、); den2=poly(p2); subplot(2,3,2) impulse(num2,den2); xlabel(t); ylabel(c(s); title(s-5);%增加 1/(S+2)的冲激响应 z3=-10; p3=-1,-1+i,-1-i,-2; num3=poly(z3); den3=poly(p3); subplot(2,3,3) impulse(num3,den3); xlabel(t); ylabel(c(s); title(1/(s+2);%增加 1/(S-2)的冲激响应 z4=-10; p4=-1,-1+i,-1-i,2; num4=poly(z4); den4=

8、poly(p4); subplot(2,3,4) impulse(num4,den4); xlabel(t); ylabel(c(s); title(1/(s-2);%增加(s+3)/(S+3.01)的冲激响应 z5=-10,-3; p5=-1,-1+i,-1-i,-3.01; num5=poly(z5); den5=poly(p5); subplot(2,3,5) impulse(num5,den5); xlabel(t); ylabel(c(s); title(s+3)/(S+3.01);%增加(s-3)/(S-3.01)的冲激响应 z6=-10,3; p6=-1,-1+i,-1-i,3.

9、01; num6=poly(z6); den6=poly(p6); subplot(2,3,6) impulse(num6,den6); xlabel(t); ylabel(c(s); title(s-3)/(S-3.01);附录附录 2 2 %传递函数 1 和 2 的阶跃响应 z1=-1; p1=-10,-1+i,-1-i; num1=10*poly(z1); den1=poly(p1); step(num1,den1); hold on;z2=-1; p2=-1+i,-1-i; num2=poly(z2); den2=poly(p2); step(num2,den2); xlabel(t)

10、; ylabel(c(s); title(1 和 2 阶跃响应曲线); legend(1,2)%传递函数 3 和 4 的阶跃响应 z3=-1,-10.01; p3=-10,-1+i,-1-i; num3=10*poly(z3); den3=10.01*poly(p3); figure(2); step(num3,den3); hold on;step(num2,den2); xlabel(t); ylabel(c(s);title(3 和 4 阶跃响应曲线); legend(3,4);%传递函数 5 和 6 的阶跃响应 z5=-1,-0.011; p5=-0.01,-1+i,-1-i; num

11、5=0.01*poly(z5); den5=0.011*poly(p5); figure(3); step(num5,den5); hold on;step(num2,den2); xlabel(t); ylabel(c(s); title(5 和 6 阶跃响应曲线); legend(5,6);附录附录 3 3 %原传递函数及增加零点 z1=-0.1 的阶跃响应曲线比较 z=-1; p=-10,-1+i,-1-i; num=poly(z); den=poly(p); step(num,den); hold on;z1=-1 -0.1; p1=-10,-1+i,-1-i; num1=poly(z

12、1); den1=0.1*poly(p1); step(num1,den1);xlabel(t); ylabel(c(s); title(增加零点 z1=-0.1 的影响); legend(增加 z1=-0.1 前,增加 z1=-0.1 后)%原传递函数及增加零点 z1=-3 的阶跃响应曲线比较 figure(2); step(num,den); hold on;z2=-1 -3; p2=-10,-1+i,-1-i; num2=poly(z2); den2=3*poly(p2); step(num2,den2);xlabel(t);ylabel(c(s); title(增加零点 z1=-3 的

13、影响); legend(增加 z1=-3 前,增加 z1=-3 后)%原传递函数及增加零点 z1=-5 的阶跃响应曲线比较 figure(3); step(num,den); hold on;z3=-1 -5; p3=-10,-1+i,-1-i; num3=poly(z3); den3=5*poly(p3); step(num3,den3);xlabel(t); ylabel(c(s); title(增加零点 z1=-5 的影响); legend(增加 z1=-5 前,增加 z1=-5 后)%原传递函数及增加零点 p1=-0.1 的阶跃响应曲线比较 figure(4); step(num,de

14、n); hold on;z4=-1; p4=-0.1 -10,-1+i,-1-i; num4=0.1*poly(z4); den4=poly(p4); step(num4,den4);xlabel(t); ylabel(c(s); title(增加零点 p1=-0.1 的影响); legend(增加 p1=-0.1 前,增加 p1=-0.1 后)%原传递函数及增加零点 p1=-3 的阶跃响应曲线比较 figure(5); step(num,den); hold on;z5=-1; p5=-3 -10,-1+i,-1-i; num5=3*poly(z5); den5=poly(p5); step

15、(num5,den5);xlabel(t); ylabel(c(s); title(增加零点 p1=-3 的影响); legend(增加 p1=-3 前,增加 p1=-3 后)%原传递函数及增加零点 p1=-5 的阶跃响应曲线比较 figure(6); step(num,den); hold on;z6=-1; p6=-5 -10,-1+i,-1-i; num6=5*poly(z6); den6=poly(p6); step(num6,den6);xlabel(t); ylabel(c(s); title(增加零点 p1=-5 的影响); legend(增加 p1=-5 前,增加 p1=-5 后)附录附录 4 4 %阶跃信号下的稳态误差研究 %k0 step(0,1,0,1) %阶跃响应曲线 hold on;z11=-1; %原传递函数 1 阶跃响应曲线 p11=-10,-1+i,-1-i; num15=poly(z11); den15=poly(p11); step(num15,den15);z16=-1,-5;