《2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.3.1 幂函数的概念 2.3.2 幂函数的图象和性质学案 湘教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.3.1 幂函数的概念 2.3.2 幂函数的图象和性质学案 湘教版必修1（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12 23 3 幂函数幂函数2 23.13.1 幂函数的概念幂函数的概念2 23.23.2 幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y ，y1 2x的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比1 x较指数幂的大小知识链接函数yx，yx2，y (x0)的图象和性质1 x函数图象定义域值域单调性奇偶性yxR RR R递增奇在(，0)上递减 yx2R R0，) 在0，)上递增偶在(，0)上递减y1 xx|x0y|y0在(0，)奇2上递减预习导引1幂函数的概念一般来说，当x为自变量而为非 0 实数时，函数yx叫作
2、(次的)幂函数2幂函数的图象与性质幂函数yxyx2yx3y1 2xyx1图象定义域R RR RR R0，)(，0) (0，)值域R R0，)R R0，)y|yR R，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性递增x0，)递增；x(，0递减递增递增x(0，)递减；x(，0)递减定点(1,1)要点一 幂函数的概念例 1 函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解 根据幂函数定义得，m2m11，解得m2 或m1，当m2 时，f(x)x3，在(0，)上是增函数，当m1 时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合要求f(x)的解析式为f(x)x3.规律
3、方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系，导致解题受阻32幂函数yx(R R)中，为常数，系数为 1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错跟踪演练 1 已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f(100)_.答案 10解析 由题意可知f(9)3，即 93， ，f(x)1 2x，f(100)1 210010.1 2要点二 幂函数的图象例 2 如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2， 四个值，1 2则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为(
4、)A2， ，2 B2， ，21 21 21 21 2C ，2,2，D2，2，1 21 21 21 2答案 B解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性注意当n0 时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0 时看|n|的大小根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0 时，n越大，yxn递增速度越快，故c1的n2，c2的n ，当n0 时，|n|越大，曲线越陡峭，1 2所以曲线c3的n ，曲线c4的n2，故选 B.1 2规律方法 幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x1 的右侧，yx的图象由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1 的左侧，yx的图象由上到下，指数由小变大(2)当0 时，
5、幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当01 时，曲线上凸；当1 时，曲线下凸；当0 时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸跟踪演练 2 如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则( )4A1n0m1Bn1,0m1C1n0，m1Dn1，m1答案 B解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，如图所示根据点低指数大，有 0m1，n1.要点三 比较幂的大小例 3 比较下列各组数中两个数的大小：(1)1 2与1 2；(2)1与1；(1 3)(1 4)(2 3)(3 5)(3)0.251 4与 6.251 4；(4)0.20.6与 0.
6、30.4.解 (1)y1 2x是0，)上的增函数，且 ，1 31 41 21 2.(1 3)(1 4)(2)yx1是(，0)上的减函数，且 ，2 33 511.(2 3)(3 5)(3)0.251 41 421 2，6.251 42.51 2.(1 4)yx1 2是0，)上的增函数，且 22.5，21 22.51 2，即 0.251 46.251 4.(4)由幂函数的单调性，知 0.20.60.30.6，又y0.3x是减函数，0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.规律方法 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则5构造幂函数；(2)若指数不同
7、而底数相同，则构造指数函数2若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量跟踪演练 3 比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)3.143与3；(2 3)(3 5)(3)3 4与1 2.(1 2)(3 4)解 (1)yx0.5在0，)上是增函数且 ，2 33 50.50.5.(2 3)(3 5)(2)yx3是 R R 上的增函数，且 3.14，3.1433，3.1433.(3)yx是减函数，3 41 2.(1 2)(1 2)(1 2)y1 2x是0，)上的增函数，1 21 2.1 23 4.(3 4)(1 2)(3 4)(1 2)1下列函数是幂函数的是( )
8、Ay5x Byx5Cy5xDy(x1)3答案 B解析 函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )Ay1 3xByx1 2Cy5 3xDyx2 3答案 D解析 yx2 3，其定义域为 R R，值域为0，)，故定义域与值域不同3x263设，则使函数yx的定义域为 R R 且为奇函数的所有值为( )1，1，1 2，3A1,3B1,1C1,3D1,1,3答案 A解析 可知当1,1,3 时，yx为奇函数，又yx的定义域为 R R，则1,3.4若a( )3 5，b(
9、)3 5，c(2)3，则a、b、c的大小关系为_1 21 5答案 abc解析 yx3 5在(0，)上为增函数( )3 5( )3 5，即ab0.1 21 5而c(2)3230，abc.5幂函数f(x)(m2m1)xm22m3在(0，)上是减函数，则实数m_.答案 2解析 f(x)(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，m2 或m1.当m2 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，当m1 时，f(x)x01 不符合题意综上可知m2.1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1 的右侧，图象从上到下，
10、相应的指数由大变小；在直线x1 的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为 1 时，函数值为 1，即f(1)1.(2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0，幂函数在x0 处无意义，在(0，)上是减函数.7一、基础达标1已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为( )(2，22)A16B.1 16C.D21 2答案 C解析 设f(x)x，则有 2，解得 ，即f(x)x1 2，所以f(4)41 2 .221 21 22下列命题中正确的是( )A当0 时，函数yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)
11、(1,1)两点C若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域上是增函数D幂函数的图象不可能在第四象限答案 D解析 当0 时，函数yx的定义域为x|x0，xR R，其图象为两条射线，故 A 选项不正确；当0 时，函数yx的图象不过(0,0)点，故选项 B 不正确；幂函数yx1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项 C 不正确；当x0，R R 时，yx0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项 D 正确3下列幂函数中yx1；yx1 2；yx；yx2；yx3，其中在定义域内为增函数的个数为( )A2B3C4D5答案 B解析 由幂函数性质知在定义域内为增函数4当 0x1 时，f(x)x2
12、，g(x)x1 2，h(x)x2的大小关系是( )Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)g(x)h(x)答案 D解析 在同一坐标系中，画出当 0x1 时，函数yx2，yx1 2，yx2的图象，如图所示8当 0x1 时，有x2x1 2x2，即f(x)g(x)h(x)5下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是( )Ayx2Byx1Cyx2Dy1 3x答案 A解析 由于yx1和y1 3x都是奇函数，故 B、D 不合题意又yx2虽为偶函数，但在(0，)上为增函数，故 C 不合题意yx2在(0，)上为减函数，且为偶函数，1 x2故
13、A 满足题意6幂函数yf(x)的图象经过点(2， )，则满足f(x)27 的x值等于_1 8答案 1 3解析 设f(x)x，由题意可知 2 ，3，1 8即f(x)x3.由x327 可知x .1 37比较下列各组中两个值的大小：(1)1.53 5与 1.63 5；(2)0.61.3与 0.71.3；(2)3.52 3与 5.32 3；(4)0.180.3与 0.150.3.解 (1)幂函数yx3 5在(0，)上单调递增，且 1.51.6，1.53 51.63 5.(2)幂函数yx1.3在(0，)上单调递增，且 0.60.7，0.61.30.71.3.(3)幂函数yx2 3在(0，)上单调递减，且
14、 3.55.3，3.52 35.32 3.(4)幂函数yx0.3在(0，)上单调递减，且 0.180.15，0.180.30.150.3二、能力提升98设a3 5，b2 5，c2 5，则a，b，c的大小关系是( )(2 5)(2 5)(3 5)AabcBcabCabcDbca答案 C解析 函数yx在 R R 上是减函数，又 ，(2 5)3 52 53 52 5，即ab.(2 5)(2 5)又函数yx2 5在 R R 上是增函数，且 ，3 52 52 52 5，即cb，(3 5)(2 5)abc.9函数y的图象是( )x2 x1答案 B解析 方法一 代入选项验证即可方法二 y1，利用函数图象的变换可知选 B.x2 x1x11 x11 x110若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称
