《2018版高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象导学案 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象导学案 新人教a版必修4（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.4.11.4.1 正弦函数、余弦函数的图正弦函数、余弦函数的图象象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一 正弦函数、余弦函数的概念思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值 sin x(或 cos x)与之对应.由这个对应法则所确定的函数ysin x(或ycos x)叫做正弦函数(或余弦函
2、数)，其定义域是 R R.知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法” ，其基本步骤如下：作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；等分单位圆，作正弦线：从O1与x轴的交点A起，把O1分成 12 等份.过O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于 0， ， ， ，2 等角的正弦线； 6 3 2找横坐标：把x轴上从 0 到 2 这一段分成 12 等份；找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到21
3、2 条正弦线的 12 个终点；连线：用光滑的曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数ysin x，x0，2的图象，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x，x2k，2(k1)，kZ Z 且k0 的图象与函数ysin x，x0，2)的图象的形状完全一致.于是只要将函数ysin x，x0，2)的图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正弦函数ysin x，xR R 的图象，如图.思考 2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案 把ysin x，xR R 的图象向左平移个单位长度，即可得到ycos x，xR R 的图象. 2梳理
4、正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 描点法作函数图象有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线.思考 2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x0，2上的图象时是哪五个点？答案 画正弦函数图象的五点(0，0)( 2，1)(，0)(3 2，1)(2，0)画余弦函数图象的五点(0，1)( 2，0)(，1)(3 2，0)(2，1)梳理 “五点法”作正弦函数ysin x、余弦函数ycos x，x0，2图象的步骤：(1)列表x0 23 22sin x01010cos x10101(2)描点3画正弦函数ysin x，x0，2的图象，五个关
5、键点是(0，0)，(，0)，(2，0)；( 2，1)(3 2，1)画余弦函数ycos x，x0，2的图象，五个关键点是(0，1)，(，1)，(2，1).( 2，0)(3 2，0)(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.类型一 “五点法”作图的应用例 1 利用“五点法”作出函数y1sin x(0x2)的简图.解 (1)取值列表：x0 23 22sin x010101sin x10121描点连线，如图所示.反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即ysin x或ycos x的图象在0，2内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.
6、跟踪训练 1 用“五点法”作出函数y1cos x(0x2)的简图.解 列表如下：x0 23 22cos x101011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图.4类型二 利用正弦、余弦函数的图象求定义域例 2 求函数f(x)lg sin x的定义域.16x2解 由题意，得x满足不等式组Error!即Error!作出ysin x的图象，如图所示.结合图象可得x4，)(0，).反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练 2 求函数y 的定义域.log21 sin x1解 为使函数有意义，需满足Error!即 0sin x .1 2
7、由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为x|2kx2k或 62kx2k，kZ Z.5 6类型三 与正弦、余弦函数有关的函数零点问题命题角度 1 零点个数问题例 3 在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程 sin xlg x的解的个数.解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0，2的图象，再向右连续平移 2 个单位，得到ysin x的图象.描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示.5由图象可知方程 sin xlg x的解有 3 个.反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图
8、象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练 3 方程x2cos x0 的实数解的个数是 .答案 2解析 作函数ycos x与yx2的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个实数解.命题角度 2 参数范围问题例 4 方程 sin(x) 在0，上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和. 3m 2解 作出y1sin(x)，y2 的图象如图，由图象可知， 3m 2要使y1sin(x)，y2 在区间0，上有两个不同的交点，应满足 1，即 3m 232m 2m2.3设方程的两实根分别为x1，x2，则由图象可知x1与x2关于x对称，于是 6x1x22，所以x1x2. 6 3反思与感悟 准
9、确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析.跟踪训练 4 若函数f(x)sin x2m1，x0，2有两个零点，求m的取值范围.解 由题意可知，sin x2m10 在0，2上有 2 个根，即 sin x2m1 有两个根，可转化为ysin x与y2m1 两函数的图象有 2 个交点.由ysin x图象可知，12m11，且 2m10，6解得1m0，且m .1 2m(1， )( ，0).1 21 21.用“五点法”作y2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A.0， ，2 B.0， ， ， 23 2 4 23 4C.0，2，3，4 D.0， ， ， ， 6 3 2
10、2 3答案 B解析 “五点法”作图是当 2x0， ，2 时的x的值，此时 23 2x0， ， ，故选 B. 4 23 42.下列图象中，ysin x在0，2上的图象是( )答案 D解析 由ysin x在0，2上的图象作关于x轴的对称图形，应为 D 项.3.函数ycos x，x0，2的图象与直线y 的交点有 个.1 2答案 2解析 作ycos x，x0，2的图象及直线y (图略)，可知两函数图象有 2 个交点.1 24.函数y的定义域为 .2sin x1答案 2k，2k，kZ Z 65 6解析 由题意知，自变量x应满足 2sin x10，即 sin x .由ysin x在0，2的图象，1 2可知
11、x， 65 6所以y的定义域为，kZ Z.2sin x1 62k，562k75.请用“五点法”画出函数y sin的图象.1 2(2x 6)解 令X2x，则x变化时，y的值如下表： 6X0 23 22x 12 37 125 613 12y01 201 20描点画图：将函数在上的图象向左、向右平移即得y sin的图象. 12，13 121 2(2x 6)1.对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点” ，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高
12、点、最低点以及与x轴的交点.2.作函数yasin xb的图象的步骤：3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0，2内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.课时作业课时作业一、选择题1.对于正弦函数ysin x的图象，下列说法错误的是( )8A.向左右无限伸展B.与ycos x的图象形状相同，只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称答案 D解析 由正弦曲线知，A，B，C 均正确，D 不正确.2.用五点法画ysin x，x0，2的图象时，下列哪个点不是关键点( )A. B.( 6，12)( 2，1)C.(，0) D.(2，0)答案 A解析 易知不是关键点
13、.( 6，12)3.已知f(x)sin，g(x)cos，则将f(x)的图象( )(x 2)(x 2)A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位，得g(x)的图象 2D.向右平移个单位，得g(x)的图象 2答案 D解析 f(x)sin，(x 2)g(x)coscossin x，(x 2)( 2x)f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象. 24.函数ysin x，x的简图是( ) 2，329答案 D5.方程 sin x的根的个数是( )x 10A.7 B.8 C.9 D.10答案 A解析 在同一坐标系内画出y和ysin x的图象如图所示.x 10根据图象可知
14、方程有 7 个根.6.函数ycos x|cos x|，x0，2的大致图象为( )答案 D解析 由题意得yError!显然只有 D 合适.7.若函数y2cos x(0x2)的图象和直线y2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A.4 B.8 C.2 D.4答案 D解析 作出函数y2cos x，x0，2的图象，函数y2cos x，x0，2的图象与直线y2 围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 10利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又OA2，OC2，S阴影部分S矩形OABC224.二、填空题8.函数f(x)lg cos x的定义域为 .25x2答案 5，3 2) ( 2，2) (3 2，5解析 由题意，得x满足不等式组Error!即Error!作出ycos x的图象，如图所示.结合图象可得x.5，3 2) ( 2，2) (3 2，59.函数ysin x，x0，2的图象与直线y 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1 2x1x2 .答案 3解析 如图所示，x1x223.3 210.函数f(x)Error!则不等式f(x) 的解集是 .1 2答案 x| x0 或2kx2k，kN N3 2 65 6解
