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1、- 1 -第十二章第十二章 静电场静电场1、一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心 O 处的电场强度 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在处取微小电 荷 dq = dl = 2Qd / 它在 O 处产生场强2 分d24dd2 022 0RQ RqE按角变化，将 dE 分解成二个分量：dsin2sindd2 02RQEEx3 分dcos2cosdd2 02RQEEy对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷0 2 分 2/2/02 02dsindsin2RQEx2 分2 02 2/2/02 02dcosdcos2RQ
2、 RQEy 所以 1 分jRQjEiEEyxvvvv2 022、如图所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面 a 处的一点的场强大小 的一半是由平面上的一个半径为 R 的圆面积范围内的电荷所产生的试求该圆半径的大 小 解：电荷面密度为的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 E= / (20) 2 分 以图中 O 点为圆心，取半径为 rrdr 的环形面积，其电量为 dq = 2rdr 2 分 它在距离平面为 a 的一点处产生的场强 2 分2/322 02d raardrE 则半径为 R 的圆面积内的电荷在该点的场强为 RrarraE 02/3220d 2 22012Raa 由题意,令
3、E= / (40)，得到 R 2a3 3、图示一球形电容器，在外球壳的半径 b 及内外导体间的电势差 U 维持恒定的条 件下，内球半径 a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度+Q Q R O x y dr r O - 2 -的大小 球形电容器的电容 ababC43 分当内外导 体间电势差为 U 时，电容器内外球壳上带电荷 ababUCUq4电容器内球表面处场强大小为 ababU aqE243 分 欲求内球表面的最小场强，令 dE/da=0，则011 dd22 abaababUaE得到 并有 2 分2ba 0dd2/22 baaE可知这时有最小电场强度 2 分bU ab
4、abUE4min4、一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半 径为 r 的一个小球体,球心为,两球心间距离,如图所示. 求:OdOO (1) 在球形空腔内,球心处的电场强度.O0Ev(2) 在球体内 P 点处的电场强度.设、O、PEvO三点在同一直径上，且.dOP 解：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电 场问题，可在不挖时求出电场，1Ev而另在挖去处放上电荷体密度为 的同样大小的球体，求出电场，并令任意2Ev点的场强为此二者的叠加，即可得 210EEEvvv2 分 在图(a)中，以 O 点为球心，d 为半径作球面 为高斯面 S，则 可求出 O与 P 处
5、场强的大小. 302 113414dddESESvv有 E1OE1P= dE013方向分别如图所示. 3 分 在图(b)中，以 O点为小球体的球心，可知在 O点 E2=0. 又以 O 为心，2d 为半径作 球面为高斯面 S 可求得 P 点场强 E2P 032 223/)(4)(24drdESESvv3 分 2 03212drEPO a b PrO O /d dE1P PE2PEP图(d)OPE1O图(a)OdEO=E1 O图(c)OPE2P-r E2O=0图(b)E1P- 3 -(1)求 O点的场强 . 由图(a)、(b)可得 OEvEO = E1O =， 方向如图(c)所示. 2 分03d(
6、2)求 P 点的场强.由图(a)、(b)可得PEv方向如(d)图所示. 2 分 2302143drdEEEPPP第十三章第十三章 电势电势1、一“无限大”平面，中部有一半径为 R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为如图所示，试求通过小孔中心 O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零) 解：将题中的电荷分布看作为面密度为的大平面和面密度为的圆盘OR叠加的结果选 x 轴垂直于平面，坐标原点在圆盘中心，大平面在 x 处产生的场强为 2 分ixxEvv012圆盘在该处的场强为 i xRxxEvv 220211 2 4 分i xRxEEEvvvv22 0212 该点电势为 4 分
7、22002202d 2xRR xRxxU x 2、图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为 R1，外表面半 径为 R2设无穷远处为电势零点，求球层中半径为 r 处的电势 解：r 处的电势等于以 r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势 U1和球面以外的电 荷产生的电势 U2之和，即 U= U1 + U2 ，其中U1=qi / (40r) 4 分 rRr03 1343/4 rRr3 1203为计算以 r 为半径的球面外电荷产生的电势在球面外取d的薄层其rrr电荷为 dq=42drr它对该薄层内任一点产生的电势为 002/d4/ddrrrqUOxP- 4 -则 2dd022Rrr
8、rUU22 2 02rR 4 分 于是全部电荷在半径为 r 处产生的电势为 22 2 03 1202123rRrRrUUU 2 分 rRrR3 122 2 0236若根据电势定义直接计算同样给分 3、在强度的大小为 E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为 R 的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)槽的质量为 M，一质量为 m 带有电荷q 的小球从槽的顶点 A 处由静止释放如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点 A 滑至半球最低点时相对地面的速度； (2) 小球通过 B 点时，槽相对地面的速度； (3) 小球通过 B 点后，能不能再上升到右端最高点
9、C？解：设小球滑到 B 点时相对地的速度为 v，槽相对地的速度 为 V小球从 AB 过程中球、槽组成的系统水平方向动量 守恒， mvMV0 2 分对该系统，由动能定理 mgREqRmv2MV2 3 分21 21、两式联立解出 2 分 mMmqEmgMR 2v方向水平向右 1 分 mMMqEmgmR MmV2v方向水平向左 1 分小球通过 B 点后，可以到达 C 点 1 分 4、两个同心的导体球壳，半径分别为 R10.145 m 和 R20.207 m，内球壳上带有负电 荷 q-6.010-8 C一电子以初速度为零自内球壳逸出设两球壳之间的区域是真空， 试计算电子撞到外球壳上时的速率(电子电荷-
10、1.610-19 C，电子质量 me9.110-31 kg，08.8510-12 C2 / Nm2） 解：由高斯定理求得两球壳间的场强为 2 分212 0R 4RrrqEO R1 R2 r M A m,q C B EvEv- 5 -方向沿半径指向内球壳电子在电场中受电场力的大小为 2 分 42 0reqeEF方向沿半径指向外球壳电子自内球壳到外球壳电场力作功为 2 分21212 0d 4dRRRRrreqrFA21012210411 4RRRReq RReq 由动能定理 2 分210122 421 RRRReqmev得到 1.98107 m/s emRRRReq21012 2v第十四章第十四章
11、 静电场中的导体静电场中的导体1、厚度为 d 的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为 试求图示离左板面距离为 a 的一点与离右板面距离为 b 的一点之间的电势差 解：选坐标如图由高斯定理，平板内、外的场强分布为： 12dabE = 0 (板内) (板外) 2 分)2/(0xE1、2 两点间电势差 2121d xEUUxxxdbdddad2d22/2/02/)2/(0 3 分)(20ab 2、半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个球形导体，各带电荷 1.010-8 C，两球相距很 远若用细导线将两球相连接求(1) 每个球所带电荷；(2) 每球的电势()22/CmN1094190解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响球上电荷均匀分布设两球半径分别 为 r1和 r2，导线连接后的电荷分别为 q1和 q2，而 q1 + q1 = 2q，则两球电势分别是 ， 2 分101 14rqU202 24rqU两球相连后电势相等， ，则有 21UU 2 分21212122112 rrq r
