北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案

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1、教案北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2-2 第一章第一章 推理与证明推理与证明全部教案全部教案张云刚1北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修 2-2 第一章第一章推理与证明推理与证明全部教案全部教案宜君县高级中学 张云刚第一课时第一课时 归纳推理归纳推理 教学目标教学目标： 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归 纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性， 那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点教学重点：了解合情推理

2、的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程教学过程： 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。见书上的三个推理 案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理 的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解： 1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)

3、 180n3、22 1 222 22 1,33 1 332 333L ，由此我们猜想：aam bbm（ , ,a b m均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤： 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。 三、例题讲解：例 1 已知数列 na的通项公式21()(1)nanNn，12( )(1)(1)(1)nf naaa，试通过计算(1),(2),(3)fff的值，推测出( )f n 的值。【学生讨论：】 （学生讨

4、论结果预测如下）（1）113(1)1144fa 1213 824(2)(1)(1)(1) (1)94 936faaf实验，观察概括，推广猜测一般性结论212312 155(3)(1)(1)(1)(2) (1)163 168faaaf由此猜想，2( )2(1)nf nn学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于 2 的偶数可以表示为两个素数的之和。2）三根针上有若干个金属片的问题。 四、巩固练习：1、已知111( )1()23f nnNn ，经计算: 35(2),(4)2,(8),22fff (16)3,f7(32)2f，推测当2n 时，有_.2、已知：2223sin 30sin 90sin 1502

5、ooo，2223sin 5sin 65sin 1252ooo。观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。3、观察（1）tan10 tan20tan20 tan60tan60 tan101oooooo（2）tan5 tan10tan10 tan75tan75 tan51oooooo。由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。 注：归纳推理的几个特点： 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的 范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜 测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的

6、基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结 论. 五、教学小结： 1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越 具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。 2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 。3第二课时第二课时 类比推理类比推理 教学目标：教学目标： （一）知识与能力：（一）知识与能力： 通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对 问 题的发现中去。 （二）过程与方法：（

7、二）过程与方法： 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质 相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越 可靠。 （三）情感态度与价值观：（三）情感态度与价值观： 1正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、 发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 2认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正 确数学意识。 教学重点：教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：教学难点：用类比进行推理，做出猜想。 教具准备：教具准备：与教

8、材内容相关的资料。 教学过程：教学过程： 一问题情境一问题情境 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？ 二数学活动二数学活动 我们再看几个类似的推理实例。 例例 1 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2)

9、 ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba2b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 例例 2 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比. . 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球4弦截面圆 直径大圆 周长表面积 面积体积 圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直 于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线 垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距 离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较 长与球心距离相等的两截面圆相

10、等；与球 心距离不等的两截面圆不等，距球心较 近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆 心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球 心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 心经过切点且垂直于切面的直线必经过球 心 上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他 们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理（简称类比）

11、这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即例例 3.3.在平面上在平面上, ,设设 h ha a,h,hb b,h,hc c是三角形是三角形 ABCABC 三条边上的高三条边上的高.P.P 为三角形内任一点为三角形内任一点,P,P 到相应三到相应三 边的距离分别为边的距离分别为 p pa a,p,pb b,p,pc c, ,我们可以得到结论我们可以得到结论: :试通过类比试通过类比, ,写出在空间中的

12、类似结论写出在空间中的类似结论. . 巩固提高 1 1(2001(2001 年上海年上海) )已知两个圆已知两个圆x2+y2=1:x2+y2=1:与与x2+(y-3)2=1,x2+(y-3)2=1,则由则由式减去式减去式可得上述式可得上述 两圆的对称轴方程两圆的对称轴方程. .将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, ,即要求得到一个更一即要求得到一个更一 般的命题般的命题, ,而已知命题应成为所推广命题的一个特例而已知命题应成为所推广命题的一个特例, ,推广的命题为推广的命题为- - - - 2 2类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的

13、勾股定理, ,试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论1ccbbaa hp hp hp5直角三角形直角三角形 3 3 个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C C9090 3 3 个边的长度个边的长度a a，b b，c c 2 2 条直角边条直角边a a，b b和和 1 1 条斜边条斜边c cPDFPDFPDEPDEEDFEDF9090 4 4 个面的面积个面的面积S S1 1，S S2 2，S S3 3 和和S S 3 3 个个“直角面直角面” S S1 1，S S2 2，S S3 3 和和 1 1 个个 “斜面斜

14、面” S S1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。2类比推理的一般步骤： 第三课时第三课时 综合法综合法 【教学目标教学目标】 1理解综合法的思维过程及其特点；2掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。【教学重点难教学重点难】理解综合法的思维过程和特点；运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线” ；综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。（也叫顺推证法或由因导果法）例 1、已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc分析：不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以运用基本不等式：a2+b22ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和” ，右边有三正数 a