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1、- 1 -线、角、相交线、平行线线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n1)条.1 2规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成n(n+1)+1个部分.1 2规律 3.如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n1)条.1 2规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于 线段长的一半. 例：如图，B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN =AC1 2证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点AM = BM
2、= AB ,BN = CN = BC1 21 2MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)1 21 21 2MN =AC1 2练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM = (AB + BC) 1 22.如图，点 B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.求证：MN = BC 1 23.如图，点 B 在线段 AC 上，N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.NMCBAMCBANMCBA- 2 -求证：MN = AB 1 2规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有n(n1)个.1 2规律
3、 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n（n1）个. 规律 7. 如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角. 规律 8.平面上若有 n（n3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n1)(n2）个.1 6 规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为n(n1)个.1 2 规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相 平行，同旁内角的角平分线互
4、相垂直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律 13.已知 ABDE,如图,规律如下：1 ABC+BCD+CDE=360EDCBA+=CDEABCBCD2 EDCBA-= CDEABCBCD3 EDCBAHGFEDBCAHGFEDBCAHGFEDBCANMCBA- 3 -规律 14.成“8”字形的两个三角 形的一对内角平分线相交所成的 角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45o,C = 55o,求E 的度 数. 解：AABE =EADE CCDE =ECBE 得 AABECCDE =EADEECBE BE 平分ABC、DE 平分ADC，
5、 ABE =CBE，CDE =ADE 2E =ACE = (AC)1 2A =45o,C =55o, E =50o 四边形部分四边形部分 规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半. 例：已知,ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比 BOC 的周长多 8cm，求这个四边形各边长. 解：四边形 ABCD 为平行四边形 AB = CD，AD = CB，AO = CO ABCDDACB = 60 AOABOB(OBBCOC) = 8-=CDEABCBCD4 ED CBA+=CDEABCBCD5 ED CBA+=CDEABCBCD6 EDC B
6、ANM EDBCA- 4 -ABBC = 30，ABBC =8 AB = CD = 19，BC = AD = 11 答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm、19cm、11cm. 规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于 邻边之差. （例题如上） 规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形 例：已知，如图，RtABC，ACB = 90o，CDAB 于 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F， 过 F 作 FHAB 交 BC 于 H 求证：CE = BH 证明：过 F 作 FPBC 交 AB 于 P，则四边形 FPBH 为平行四边形 B =FPA，BH
7、 = FP ACB = 90o，CDAB 5CAB = 45o，BCAB = 90o5 =B 5 =FPA 又1 =2，AF = AFCAFPAF CF = FP 4 =15，3 =2B3 =4 CF = CE CE = BH 练习：已知，如图，ABEFGH，BE = GC 求证：AB = EFGH规律 44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在ABCD 中，AB = 2BC，M 为 AB 中点 求证：CMDM 证明：延长 DM、CB 交于 N 四边形 ABCD 为平行四边形 AD = BC，ADBC54321PHFEDCBAGHFEBAC321NMBADC-
8、 5 -A = NBA ADN =N 又AM = BMAMDBMN AD = BN BN = BC AB = 2BC，AM = BMBM = BC = BN 1 =2，3 =N 123N = 180o， 13 = 90oCMDM 规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF规律 46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点 的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SBEC = SABCD1 2规律 47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相 邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面 积的一半.如
9、图：SAOB SDOC = SBOCSAOD = S1 2ABCD规律 48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方 和相等. 如图：AO2OC2 = BO2 DO2FEODCBAEDCBAODCBAADCBOOBCDA- 6 -规律 49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形 GHMN 是矩形（规律 45规律 49 请同学们自己证明） 规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. 例：已知，如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE = ED，P 为对角线 BD 上 一点，PFBE 于 F，PGAD 于 G 求证：PFPG =
10、AB 证明：证法一：过 P 作 PHAB 于 H，则四边形 AHPG 为矩形AH = GP PHAD ADB =HPB BE = DE EBD = ADB HPB =EBD 又PFB =BHP = 90oPFBBHP HB = FP AHHB = PGPF 即 AB = PGPF 证法二：延长 GP 交 BC 于 N，则四边形 ABNG 为矩形， （证明略） 规律 51.直角三角形常用辅助线方法： 作斜边上的高 例：已知，如图,若从矩形 ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与BAD 的平分线交于 点 E 求证：AC = CE 证明：过 A 作 AFBD，垂足为 F，则 AFEGFAE
11、= AEG 四边形 ABCD 为矩形BAD = 90o OA = OD BDA =CAD AFBDNPHG FEDCBAG OFEDCBANMHGDCBA- 7 -ABDADB = ABDBAF = 90oBAF =ADB =CAD AE 为BAD 的平分线BAE =DAE BAEBAF =DAEDAC 即FAE =CAECAE =AEG AC = EC 作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： 有斜边中点时 例：已知，如图，AD、BE 是ABC 的高， F 是 DE 的中点，G 是 AB 的中点 求证：GFDE 证明：连结 GE、GD AD、BE 是ABC 的高，G 是 AB 的中点GE =
12、 AB，GD = AB1 21 2GE = GD F 是 DE 的中点GFDE 有和斜边倍分关系的线段时 例：已知，如图，在ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 DABA 于 A，AC = BD1 2 求证：ACB = 2B证明：取 BD 中点 E，连结 AE，则 AE = BE = BD1 21 =BAC = BD1 2AC = AE ACB =2 2 =1B2 = 2B ACB = 2B 规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等. 例：已知，如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于 E，作 PFCD 于 FGFEDCBA21EDCB
13、A- 8 -求证：AP = EF证明:连结 AC 、PC 四边形 ABCD 为正方形 BD 垂直平分 AC，BCD = 90oAP = CP PEBC，PFCD，BCD = 90o 四边形 PECF 为矩形PC = EF AP = EF 规律 53.有正方形一边中点时常取另一边中点. 例：已知,如图，正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，MNMD，BN 平分CBE 并交 MN 于 N 求证：MD = MN证明：取 AD 的中点 P，连结 PM，则 DP = PA =AD1 2 四边形 ABCD 为正方形AD = AB, A =ABC = 90o 1AMD = 90o，又 DMMN 2AM
14、D = 90o1 =2 M 为 AB 中点AM = MB = AB1 2DP = MB AP = AM APM =AMP = 45o DPM =135o BN 平分CBECBN = 45o MBN =MBCCBN = 90o45o= 135o 即DPM =MBNDPMMBN DM = MN 注意：把 M 改为 AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。 练习：已知，Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CQ 上一点，且 AP = PCBC 求证：BAP = 2QADPFEDCBA21PNMEDCBAQPDCBA- 9 -规律 54.利用正方形进行旋转变换旋转变换就是当图形具有邻
15、边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相 等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要 的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中. 例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，BAC = 90o，D 为 BC 边上任一点 求证：2AD2 = BD2CD2 证明：把ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o得ACEBD = CE B = ACE BAC = 90o DAE = 90o DE2 = AD2AE2 = 2AD2 BACB = 90oDCE = 90o CD2CE2 = DE2 2AD2 = BD2CD2 注意：把ADC 绕点 A 顺时针旋转 90o 也可，方法同上。 练习：已知，如图，在正方形 ABCD 中，E
