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1、高二下学期数学选修课课程安排建议及 必选内容的教材分析与教学建议 朱天丽 谢文峰 广州培英中学 一,本学期选修课课程安排建议 由于广东省新课程高考方案还未正式出台,因此对于选修课如何开,尤其是系列 4 的若干专题 如何开课,是大家比较困惑的.根据中心组的建议,结合我校的一些做法,提出以下开课方案供 各位老师参考: 1.文科:选修 1-2 系列以新增内容为主,相对比较简单,教学要求不宜拔高,因此大约用六周左 右的时间完成选修 1-2 的学习;之后的时间,可以将必修的五个模块,系列 1 的两个模块中传 统的重点主干内容重新整合为几个专题,结合教材,进行基础知识与方法的回顾与再现.对于 系列 4 的
2、一个专题,如果还没有开课,可以考虑留到 6 月底待 07 年数学高考考试大纲研制情 况基本清楚后再做安排. 2.理科:本学期应该完成选修 2-2,选修 2-3.对于系列 4 的三个专题,如果还没有开课,可以考虑 留到 6 月底待 07 年数学高考考试大纲研制情况基本清楚后再做安排. 二,选修 1-2,选修 2-2,选修 2-3 各章教材分析与教学建议 本学期(第 7,8 学段),对于必选内容,高二理科学生将完成选修 2-2,选修 2-3 的学习,文科学生 将完成选修 1-2 的学习.内容包括: 选修 1-2:统计案例,推理与证明推理与证明,数系扩充与复数的引入,框图. 选修 2-2:导数及其应
3、用,推理与证明推理与证明,数系的扩充与复数的引入. 选修 2-3:计数原理,统计案例,概率. 对以上选修 1,选修 2 系列的这些课程,根据普通高中数学课程标准,统计案例,数系扩充 与复数的内容及要求是相同的;导数及其应用,推理与证明推理与证明内容基本相同,但要求不同;还有一 些内容是不同的,即选修 1 系列中安排了框图,选修 2 系列安排了计数原理,随机变量及其分 布. 为叙述方便,以下普通高中数学课程标准简称标准,普通高中课程标准实验教科书简 称为新教材;全日制普通高级中学数学教学大纲简称大纲,全日制普通高级中学教科 书(试验修订本)简称为旧教材. 下面将这些内容分为七个部分进行分析. 第
4、一部分 导数及其应用 所处位置:选修 2-2 第一章 (一)课程标准要求(24 课时) (1)导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实 际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. 通过函数图像直观地理解导数的几何意义. (2)导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x, y=x 的导数. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求 简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的导数. 会使用导数公式表. (3)导数在研究函数中的应用 结合实例,借助几何
5、直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值,极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值,最小值;体 会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. (4)生活中的优化问题举例. 例如使利润最大,用料最省,效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用. (5)定积分与微积分基本定理 通过实例(如求曲边梯形的面积,变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助 几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念. 通
6、过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理 的含义. (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文 化发展中的意义和价值.具体要求见本标准中“数学文化“的要求. (二)教材分析与教学建议1.标准与大纲的比较 这部分内容与大纲相比,标准在理念,编排,内容选择的处理上都有很大的变化,主要 表现在: (1)重视导数及积分概念的产生的实际背景,淡化利用极限的语言对导数概念进行形式化表述.旧 教材是在学习了数列的极限,函数的极限,函数的连续性等知识的基础上,从切线的斜率和瞬 时速度引入导数的概念;新教材没有给出极限
7、的定义,而是按照:平均速度(平均变化率)-瞬时 速度(瞬时变化率)-导数的概念导数的几何意义这样的顺序来安排,用形象直观的“逼近“方 法定义导数,这样引入导数的概念,可避开极限概念的难点,让学生有更充裕的时间学习导数 的思想方法,体会导数概念产生的背景及其在现实生活中的应用. (2)淡化计算,学导数不仅作为一种规则,更作为一种重要的思想,方法来学习; (3)更加重视导数的几何意义,以及用导数的几何意义解决相关问题; (4)强调导数在研究事物的变化率,变化的快慢,研究函数的基本性质和优化问题中的应用(极 值,最值);并通过与初等方法比较,感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性; (5)关
8、注算法思想的渗透,以及与信息技术的整合(用切线法求方程的近似解). 2.文科,理科的教学要求比较 按标准要求,导数及其应用在选修 1-1 中约为 16 课时,在选修 1-2 中约为 24 课时.理 科比文科增加的地方主要有:在导数的运算中,能根据导数定义求函数 y=x3 和 y=的导数;能 求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的导数;定积分的概念与微积分基本定理. 3.教学建议 (1)在引入导数概念时,不宜再补充极限的定义,而是应通过研究增长率,膨胀率,速度等反映导 数应用的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时速率的过程,知道瞬时变化率就是导数,体 会导数的思想及其内涵,帮助学生直观理
9、解导数的背景,思想和作用. (2)本章1.1变化率与导数非常重视通过实际背景和具体应用的实例引入导数的概念,然 而例题与练习偏少.建议1.1.1 适当补充一些求函数的平均变化率的例题与练习;1.1.2 补充 一些简单的纯数学的求导数的例题及配套练习题;1.1.3 补充与曲线的切线有关的练习,这样 有利于学生更好的体会导数的意义,促进学生基本运算技能的形成. (3)导数的应用是这一章的重点内容,也是近几年高考的热点,教学时应给予足够的重视.应用 包括两个部分:一是用导数的知识研究函数的极值,最值,单调性以及证明不等式,理科班可以 适当补充一些导数与函数的综合题;二是利用导数解决生活中的优化问题,
10、教科书的这一节选 材阅读量比较大,教师可以选择其中的一,两个例子,或者补充一些背景教为简洁的典型例题, 所选问题应该能体现导数方法的优越性.(4)关于定积分的教学,把书上的东西讲清楚就可以了,应控制定积分计算的难度,严格控制定 积分应用的广度和难度. (5)选修 2-2 第 6 页倒数第 6 行分式的分子中“ x 2“应改为“( x)2“;第 8 页第二行“过点 P 的切 线“应描述为“在点 P 处的切线“更合理一些. 4.人教 A 版与人教人教 B 版版的比较 两个版本对这一章内容的编排顺序基本是一致的.都是从实际背景引入导数的概念.相比较人 教 A 版更加突出应用,“高台跳水“问题几乎贯穿
11、始终,整章应用题的比例是相当高的;而人教人教 B 版版叙述较为简洁,例题,习题中的纯数学题较多. 第二部分 统计案例 所处位置:选修 1-2 第一章,选修 2-3 第三章 (一)课程标准要求 通过典型案例,学习一些常见的统计方法,并能初步应用这些方法解决一些实际问题. 1.通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗“等)的探究,了解独立性检验(只要求 22 列联表)的 基本思想,方法及初步应用. 2.通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系“等)的探究,进一步了解回归的基本思想,方法 及初步应用. (二)教材分析与教学建议 统计案例是新增内容,是在必修 3 学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了
12、解和使用一 些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策 中的作用. 标准要求的有四个案例,但教材中只选择了其中两个案例,所以标准建议 14 课时,而 人教 A 版教师用书建议约 10 课时. 1.教学重点与难点分析 本章教学重点是回归分析的基本思想和独立性检验的基本思想. 教学难点是:掌握建立回归模型的基本步骤;利用随机变量 K2 来确认“两个分类变量有关系“ 这一结论成立的可信程度(类似于反证法). 2.文科,理科的教学要求比较 标准对选修 1 和选修 2 中统计案例的内容和要求是一样的,但人教 A 版的这两本教材对 这一章的处理却不尽相同,理科要求要
13、高一些. (1)在第一节例 1 之前,理科教材增加了利用最小二乘法求 a,b 的详细推导过程. (2)在学习随机误差 e 之后,理科教材给出了线性回归模型的完整表达式: (3)在探究“如何衡量预报的精度“的问题中,文科教材是通过研究解释变量 x 和随机误差 e 对 预报变量 y 的变化的效应,将总偏差平方和分解为残差平方和与回归平方和,进而转化为用相 关指数 R2 来衡量回归模型的拟合效果;理科教材则是类比样本方差估计总体方差的思想,用 衡量回归方程的预报精度,没有出现偏差平方和与回归平方和的概念,而是在残差分析之后直 接给出 R2 的计算公式. (4)理科是在学习过“相互独立事件“的基础上学
14、习独立性检验,因此在理科教材中,直接将“吸 烟与患肺癌没有关系“等价为“吸烟与肺癌独立“. (5)在独立性检验的例 2 中,理科教材增加了统计量 K 2 的推导过程. 3.教学建议 (1)建议在本章学习新课之前先回顾必修 3 的相关内容,可以通过具体问题让学生复习统计的 有关概念与方法.要强调,统计学最关心的是: 如何抽取数据; 如何从数据中提取信息; 所得结论的可靠性. (2)关于最小二乘法的教学,建议文科只要让学生了解最小二乘法的思想,即使样本数据点到回归直线的距离的平方和达到最小值的直线 y=bx+a 就是要求的直线,具体过程不必介绍;而 理科教学则应使学生了解推导的过程. (3)本章的
15、教学重点是让学生了解两种统计方法的基本思想及其初步应用,对于其理论基础不 作要求,避免学生单纯记忆和机械套用公式;鼓励学生使用计算器,计算机等现代技术手段来 处理数据,有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题.建议让学生学会使用计 算器中的“回归计算“功能进行有关计算. (4)尽量给学生提供一定的实践活动机会,让学生亲自实践,经历数据处理的过程,培养他们对 数据的直观感觉,认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误,估计结果的随机性),体会统计 方法应用的广泛性. (5)A 版在“回归分析“这一节的选材相当完整,从收集两个变量的数据开始,先画散点图,进而 直观判断它们是否线性相关,然后
16、在相关前提下尝试用线性回归模型来拟合,最后还通过相关 指数和残差分析来判断拟合效果.教学时应让学生结合例 1 体会这一完整的过程. 4.人教 A 版与人教人教 B 版版的比较 两个版本对统计案例的处理差异是比较大的. (1)人教 A 版是先讲回归分析,再讲独立性检验,人教人教 B 版版两小节顺序则相反.因此 B 版的回归 分析是用假设检验思想来进行的,而没有讲述残差分析内容. (2)人教人教 B 版版的选修 1-2 教材,在第一节独立性检验中,一开始就介绍了“事件 A 与 B 相互独立 “的定义及有关结论,A 版则没有. (3)人教 A 版的每一节总是以某个具体问题为线索贯彻始终,详细阐述统计方法的基本思想 和实施步骤,而 B 版则设计了较多的例题. (4)人教 A 版给出一个 K 2 临界值表,B 版只给出两个 K 2 临界值:3.841 与 6.635. 第三部分 推理与证明推理与证明 所处位置:选修 1-2 第二章,选修 2-2 第二章 (一)
