空间向量的应用

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1、1学学 校：校： 年年 级：级： 教学课题教学课题: :空间向量的应用空间向量的应用 学员姓名：学员姓名： 辅导科目：数学辅导科目：数学 学科教师：学科教师： 教学目标教学目标 掌握空间向量在立体几何中的应用掌握空间向量在立体几何中的应用教学内容教学内容体几何中的向量方法（体几何中的向量方法（1 1）学习目标学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题学习过程 一、课前准备、课前准备 （预习教材P102 P104，找出疑惑之处） 复习复习 1 1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习复习

2、2 2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？ 复习复习 3 3：设a a，b b，123(,)a a a123( ,)b b b a ab b 二、新课导学二、新课导学 学习探究 探究任务一探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面向量表示空间的点、直线、平面 问题问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知新知： 点点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，OPOPuuu r我们把向量称为点的位置向量.OPuuu rP 直线：直线： 直线的方向向量方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 对于直线 上的任一点,存在实数 ，使得，此方程称

3、为直线的向量参数方程直线的向量参数方程. .lPtAPtABuuu ruuu r2 平面：平面： 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两P, a br r 个不共线向量，则存在有序实数对,使得. ( , )x yOPxaybuuu rrr 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. . 平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量 垂直于平面,nrnr记作 ，那 么向量 叫做平面的法向量法向量. .nrnr试试试试： . 1.如果都是平面的法向量，则的关系 ., a br r, a br

4、r2.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则 与 的关系是 .nrarnrar反思反思： 1. 一个平面的法向量是唯一的吗？ 2. 平面的法向量可以是零向量吗？ 向量表示平行、垂直关系：向量表示平行、垂直关系： 设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则, l m, a br r, , u vr r lmarbrakbrr larur0a ur r urvr.ukvrr 典型例题 例例 1 1 已知两点,求直线AB1, 2,3 ,2,1, 3AB与坐标平面的交点.YOZ变式：已知三点,点 在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值1,2,3 ,2,1,2 ,AB1,1,2P

5、QOPQA QBuuu ruuu r时,点 的坐标.Q3小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可. 例例 2 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行.变式变式：在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量. 3,0,0 ,0,4,0 ,0,0,2ABC小结小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 动手试试 练练 1 1. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：, a br r12,l l12,l l ；1,2, 2 ,2,3,2ab rr .0,0,1 ,0,0,3abrr练练 2 2. 设分别是平面

6、的法向量，判断平面的位置关系：, u vr r, , ；1,2, 2 ,2, 4,4uv rr .2, 3,5 ,3,1, 4uv rr三、总结提升 学习小结 1. 空间点，直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. 知识拓展： 求平面的法向量步骤求平面的法向量步骤： 设平面的法向量为；( , , )nx y zr找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； 根据法向量的定义建立关于的方程组；, ,x y z 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差4 当堂检测（时量：5 分钟 满分：

7、10 分）计分： 1. 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .2, 1, 2 ,6, 3, 6ab rr12,l l12,l l2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .2,2,5 ,6, 4,4uv rr, , 3. 已知，下列说法错误的是（ ）nrA. 若，则 B.若，则anar/anarC.若，则 D.若，则,mu r/nmru r,mu rnmru r4.下列说法正确的是（ ） A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 D.若是直线 的方向向量，则mu rl/l/mu r5. 已知，能做平面的法向量的

8、是（ ）1,0, 1 ,0,3, 1ABACuuu ruuu rABCA. B. C. D. 1,2,111, ,131,0,02,1,3课后作业 1. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量.1111ABCDABC D1DBuuu u r1ACD2已知，求平面的一个法向量.2,2,1 ,4,5,3ABACuuu ruuu rABC5立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（2 2）学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题； 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.学习过程 一、课前准备一、课前准备 （预习教材P105 P107，找

9、出疑惑之处. 复习复习 1 1：已知，且，求.1a brr1,2abrr2mabu rrrmu r复习复习 2 2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学二、新课导学 学习探究 探究任务一探究任务一：用向量求空间线段的长度用向量求空间线段的长度 问题问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式求出线段长度.2 aarr试试试试：在长方体中，已知,求的长.ABCDA B C D1,2,1ABBCCCAC反思反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. 典型例题 例例 1 如图，一个结晶体 的形状为平行

10、六面体， 其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且 它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱6长有什么关系？ 变式变式 1 1：上题中平行六面体的对角线的长与棱长有什么关系？1BD变式变式 2 2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二探究任务二：用向量求空间图形中的角度用向量求空间图形中的角度 例例 2 2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线 （库底与水坝l 的交线）的距离分别为，的长为 ，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值

11、.,AC BD, a bCDcABd变式变式：如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都60,A B,AC BD 垂直于已知,求的长.,AB4,6,8ABACBDCD 动手试试 练练 1 1. 如图，已知线段AB在平面内，线段，线段BDAB，线段，如ACDD30DBDo果ABa，ACBDb，求C、D间的距离.7练练 2 2. 如图，M、N分别是棱长为 1 的正方体的棱、的中点求异面直线MNABCDA B C DBBB C 与所成的角.CD三、总结提升 学习小结1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式；2 aarr2. 空间的二面角或异面直线的夹角

12、，都可以转化为利用公式求解.cos,a ba b ab r rr r rr 知识拓展 解空间图形问题时解空间图形问题时, ,可以分为三步完成可以分为三步完成: : （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知，则 .

13、1,02 ,1,1,3AB AB 2. 已知，则的夹角为 .1cos,2a b r r, a br r3. 若M、N分别是棱长为 1 的正方体的棱的中点,那么直线所成的角ABCDA B C D,AB BB,AM CN 的余弦为（ ）A. B. C. D.3 210 103 52 5 4. 将锐角为边长为 的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是（ ）60aABCD60,AC BDA. B. C. D.3 2a3 2a3 4a3 4a5.正方体中棱长为 ，,是的中点，则为（ ）ABCDA B C Da1 3AMACuuuu ruuuu rNBBMNA. B. C. D.21 6a6 6a1

14、5 6a15 3a8课后作业课后作业 1. 如图，正方体的棱长为 1，ABCDA B C D 分别是的中点，求：,M N,BB BC 所成角的大小；,MN CD 所成角的大小；,MN AD 的长度.AN立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（3 3）学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法； 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.学习过程 一、课前准备一、课前准备 复习复习 1 1：已知，试求平面的一个法向量. 1,2,0 ,0,1,1 ,AB1,1,2CABC复习复习 2 2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学二、新课导学 学习探究 探究任务一：点到平面的距离的求法点到平面的距离的求法 问题问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为 ,且与 不共线,能,PdnrAPuuu rnr否用与 表示?APuuu rnrd分析分析:过作于O,PPO 连结OA