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1、随机过程试卷随机过程试卷 一、简答一、简答 1.随机过程的正交、互不相关和互相独立及其相互关系。 答：答：教材 P49如果对任意的和有12, ,nt ttL12, ,mt tt L12121212( ,; , ,;,; , ,)XYnnmmfx xx t tty yyt tt LLLL12121212( ,; , ,)(,; , ,)XnnYmmfx xx t ttfy yyt tt LLLL则称和之间是相互独立的。( )X t( )Y t两个随机过程和，如果对任意的和都有互协方差函数为 0，即( )X t( )Y t1t2t12( , )0XYCt t则称和之间互不相关。两个互相独立的随机过
2、程必不相关两个互相独立的随机过程必不相关，反之不一定反之不一定。( )X t( )Y t（高斯随机过程的互不相关与互相独立等价高斯随机过程的互不相关与互相独立等价）两个随机过程和，如果对任意的，其互相关函数等于零，即( )X t( )Y t12,t tT12( , )0XYRt t则称和之间正交。而且正交不一定互不相关正交不一定互不相关。( )X t( )Y t（均值为零的两随机过程正交与互不相关等价均值为零的两随机过程正交与互不相关等价） 2.随机过程的各态历经性及实际意义。 答：答：教材 P6569 平稳过程的各态历经性，用数学语言来说，即关于（充分长）时间的平均值，近似地 等于观察总体的
3、集合平均值。如对均方连续的实平稳过程是的均值，是平稳过程中所有可能出现的曲线( ),(,) ,( )XX t tmE X t ( )X t（样本函数）的集合平均值。而对中任一现实曲线，是( )X t( )x t1( )d2TTTmx ttT在对时间 的平均值，称为时间平均值。显然的每一曲线都在的上下( )x t, T Tt( )X tXm波动，则可以想象，当充分长时该现实曲线可以很好地代表实平稳过程T( )x t的整个性质，如。对于这样的平稳过程，称具有各态历经性，( ),(,)X t t TXmm但只在一定条件下的平稳过程，才具有各态历经性。 要讨论平稳过程的数字特征，就应该知道一族样本函数
4、。而样本函数往往需要经过大 量的观察实验，然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得，其要求是很高的。讨论 平稳过程的历经性，就是讨论能否在较宽松的条件下，用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值、协方差函数等数字特征。 3.高斯随机过程的互不相关与互相独立等价。 答：答：教材 P159160必要性必要性 若是相互独立的正态随机变量，则必有12,nXXXL121212( ,)()()(), nXnXXXnfx xxfxfxfxLL121212( ,)( )()() nXnXXXnv vvvvvLL2211exp2niiii ijvv22111exp2nniiii iijvv其中，2,1,2, .
5、iiiiE XD XinL2 1 2 2200 00 000 00nC L L O L是协方差矩阵，显然，时，故与是不相关的。ik0ikC iXkX充分性充分性 若是两两互不相关的正态随机变量，则12,nXXXL()()0,kikkiiCE XXki121( ,)exp2TT Xnv vvjvv CvL其中，为协方差矩阵，因而有1212( ,) ,(,)TT nnvv vv LLC2 12 111( ,)exp2nnXniiiii iiv vvjvC vL2111exp( )2inniiiiiXi iijvC vv其中是正态随机变量的特征函数。依特征函数性质知相互独立。( ) iXiviX12
6、,nXXXL4.泊松过程是非平稳随机过程。 答：答：教材 P56，P184设是一个随机过程，且( ),X t tT2( )E Xt 和( )XE X tmconst1212( , )( )()( ),R t tE X t X tRtt 则称为广义随机平稳。( ),X t tT泊松计数过程均值，均方值，00(, )E N tt tt22 00(, )()E Ntt ttt相关函数，2 121 212( , )min( , )NRt tt tt t不符合上述定义，因此泊松过程是非平稳随机过程 5.白噪声过程是零阶马尔可夫过程。什么叫无记忆过程？白噪声过程是无记忆过程吗？ 答：答：教材 P5354
7、随机过程按记忆特性分类：（1）纯粹随机过程（无记忆） ，指在一给定的，用定义的随机变量，与所有其他的1t( )X t，用定义的随机变量是相互独立的。白噪声是其一个重要的例子。2t( )X t（2）马尔可夫过程：一阶、二阶、高阶马尔可夫过程；纯粹随机过程又称零阶马尔可夫过 程。（3）独立增量过程，独立增量过程是一个马尔可夫过程。( ),0X t t 二、二、设随机过程，( )cossinX tUtVt( )sincosY tUtVt。其中，和是两个相互独立的随机变量，且( )sincosZ tUtVt 0UV，。 0E UE V222E UE V（1）证明：、和各自是广义平稳的随机过程。( )X
8、 t( )Y t( )Z t（2）证明：和不是广义联合平稳的。( )X t( )Y t（3）证明：与是两个平稳相关的随机过程。( )X t( )Z t（4）的均值，自相关函数是各态历经的么？( )X t（1）证明：证明：的均值( )X t( ) cos sin0E X tE UtE Vt均方值222222( )cossin2 sincosE XtE UtE VtE UVtt 自相关函数2 1212( , )( )cos,XXRt tRtt 所以是广义平稳的随机过程，同理和是广义平稳的随机过程。( )X t( )Y t( )Z t（2）证明：证明：121122( , )(cossin)(sinc
9、os)XYRt tE UtVtUtVt22 121212cossinsincoscos()E UttE VttE UVtt2 12sin()tt2 212sin(2 ),ttt 因此不仅与有关，得出和不是广义联合平稳的。12( , )XYRt t( )X t( )Y t（3）证明：证明：1212( , )( ) ( )XZRt tE X t Z t1122(cossin)(sincos)E UtVtUtVt2 12sin,tt 类似的，有 2 12( , )sinZXRt t所以与是两个平稳相关的随机过程。( )X t( )Z t（4）解：解：由于及，故有2( )cosXR0Xm2221lim
10、1cosd22TTTTT 因此的均值是各态历经的。 （用定理证）220lim1cosd02TTTT ( )X t设是的一个代表性样本函数，和分别是随机变量和( )cossinx tutvt( )X tuvU的样本值。 （用定义证，自相关函数的各态历经性定理要计算四阶矩，通常不用）V( )()( )XTRX tX t1limcos()sin()cossind2TTTutvtutvttT 221limcos()cossin()sinsin(2)d2TTTuttvttuvttT 221limcos(2)coscos(2)cossin(2)d222TTTuvttuvttT 22221sin(2)sin
11、(2)cos(2)cos(2)coslim2242TuvuvTTuvTT T22 cos2uv由此式看出，自相关函数的时间平均依赖于被选择的样本函数。对于不同的样本函数，和的值不同，自相关函数时间平均值也不同，因此没有自相关函数的各态历经性。uv( )X t三、三、设平稳随机过程的自相关函数。令，其中( )X t( )XRe0( )( )cos()Y tX tt，为均匀分布的随机变量，且与相互独立。00,2 ( )X t求的自相关函数和功率谱密度。( )Y t解：解：120 10 2( , )cos()cos()ZRt tEtt0 10 20 10 211 cos()cos(2 )22Ettt
12、t 01201201211cos()cos() cos2 sin() sin2 22ttttEttE 01201211cos()cos( ),22ZttRtt 1212( , ) ( ) ( )YR t tE Y t Y t10 120 2( )cos()( )cos()E X ttX tt120 10 2( )( ) cos()cos()E X t X tEtt12( )( )( ),XZYRRRtt 0121cos,2ett ，22( )1XS00( ) ()()2ZS 由 Fourier 变换的性质得22 001111( )( )( )22 1 ()1 ()YXZSSS四、四、已知，如果
13、，求。 （教材 P124 题 3.4）2( )XRed ( )( )( )dX tY tX tt( )YR解：解：( ) ( ) ()YRE Y t Y t( )( )()()EX tX tX tX t)exp,22Xxfx xx xCxC 相互独立等价于互不相关。因此，即。12( ),( )X tX t12( ),( )X tX t12210CCsin0B 所以，即应满足的条件时,(1, 2,)Bkk L12,t t12,(1, 2,)kttkB L相互独立。 （相似题：教材 P179 题 5.9）12( ),( )X tX t高斯随机过程，它的均值和相关函数完全刻画了该过程的统计特性。六、六、如图，设为高斯白噪声随机过程，其自相关函数为，为延迟。( )X t0( )( )2XNR T（教材 P126 题 3. 19 图）1.求的互相关函数。( ),( )X t Z t( )XZR2. 求的互相关函数。( ),( )Z tX t( )ZXR解：解：1.系统冲激响应为( )( )()( )( )()h tttTu tu tu tT00( )( )()( )()()()()22XZXNNRRhuuTuuT 2. 00( )( )( )( )( )()( )()22ZXXNNRRhuuTuuT 七、七、如图所示系统中，自相关函数为的白噪声分成两路经过频率响应特性
