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1、1学案学案 3939 数学归纳法数学归纳法导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题自主梳理 1归纳法 由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对 象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法 2数学归纳法 设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题_(或_)成 立；(2)在假设_成立的前提下，推出_也成立，那么可以断定Pn对一切正整 数成立 3数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时命题成立 (2)(归纳递推)假设_时命题成立，证明当_时 命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
2、n0开始的所有正整数n都成立 自我检测1用数学归纳法证明：“1aa2an1 (a1)”在验证n1 时，1an2 1a 左端计算所得的项为( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 2如果命题P(n)对于nk (kN N*)时成立，则它对nk2 也成立，又若P(n)对于 n2 时成立，则下列结论正确的是( ) AP(n)对所有正整数n成立 BP(n)对所有正偶数n成立 CP(n)对所有正奇数n成立 DP(n)对所有大于 1 的正整数n成立3(2011台州月考)证明1)，当n2 时，中间式n2 21 21 31 41 2n 子等于( )A1 B11 2C1 D1 1 21 31 21 31
3、4 4用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起 始值n0应取( ) A2 B3 C5 D6 5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3 (nN N* *)能被 9 整除” ，要利用归纳假设 证nk1 时的情况，只需展开( ) A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3探究点一 用数学归纳法证明等式 例 1 对于nN N* *，用数学归纳法证明：21n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2)1 6变式迁移 1 (2011金华月考)用数学归纳法证明：对任意的nN N*,*,1 .1 21 31 41 2n11 2n1 n11
4、 n21 2n探究点二 用数学归纳法证明不等式例 2 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式(11 3)(11 5) (11 2n1)均成立2n12变式迁移 2 已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x1 时，(1x)m1mx.探究点三 用数学归纳法证明整除问题3例 3 用数学归纳法证明：当nN N* *时，an1(a1)2n1能被a2a1 整除变式迁移 3 用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)32n28n9 能被 64 整 除从特殊到一般的思想 例 (14 分)已知等差数列an的公差d大于 0，且a2、a5是方程x212x270 的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn1bn
5、.1 2 (1)求数列an、bn的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn1的大小，并说明理由1 bn 【答题模板】 解 (1)由已知得Error!，又an的公差大于 0，a5a2，a23，a59.d2，a11，a5a2 393 3 an1(n1)22n1.2 分Tn1bn，b1 ，当n2 时，Tn11bn1，1 22 31 2bnTnTn11bn，1 2(11 2bn1)化简，得bnbn1，4 分1 3bn是首项为 ，公比为 的等比数列，2 31 3即bn n1，2 3(1 3)2 3nan2n1，bn.6 分2 3n(2)Snnn2，Sn1(n1)2，.12n1 21 bn
6、3n 24以下比较与Sn1的大小：1 bn当n1 时， ，S24，S5.1 b327 21 b31 b481 21 b4猜想：n4 时，Sn1.9 分1 bn 下面用数学归纳法证明： 当n4 时，已证假设当nk (kN N* *，k4)时，Sk1，即(k1)2.10 分1 bk3k 2那么，nk1 时，33(k1)23k26k3(k24k4)1 bk13k1 23k 22k22k1(k1)12S(k1)1，nk1 时，Sn1也成立12 分1 bn由可知nN N* *，n4 时，Sn1都成立1 bn综上所述，当n1,2,3 时，Sn1.14 分1 bn1 bn 【突破思维障碍】 1归纳猜想证明是
7、高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和 存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索 出一般规律 2数列是定义在 N N* *上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推 公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决 【易错点剖析】 1严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取 两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础 2在进行nk1 命题证明时，一定要用nk时的命题，没有用到该命题而推理证明 的方法不是数学归纳法1数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立
8、，然后假设当nk (kN N* *，kn0)时命题成立，并证明当nk1 时命题也成立，那么就证明了这个命题 成立这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存 在的基础，至少kn0时命题成立，由假设合理推证出nk1 时命题也成立，这实质 上是证明了一种循环，如验证了n01 成立，又证明了nk1 也成立，这就一定有 n2 成立，n2 成立，则n3 成立，n3 成立，则n4 也成立，如此反复以至无穷， 对所有nn0的整数就都成立了 2(1)第步验证nn0使命题成立时n0不一定是 1，是使命题成立的最小正整数 (2)第步证明nk1 时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则
9、就不是数学 归纳法 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除” ，在第二步时， 正确的证法是( )5A假设nk(kN N* *)时命题成立，证明nk1 命题成立 B假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk1 命题成立 C假设n2k1 (kN N* *)时命题成立，证明nk1 命题成立 D假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk2 命题成立2已知f(n) ，则( )1 n1 n11 n21 n2Af(n)中共有n项，当n2 时，f(2) 1 21 3Bf(n)中共有n1 项，当n2 时，f(2) 1 21 31
10、 4Cf(n)中共有n2n项，当n2 时，f(2) 1 21 3Df(n)中共有n2n1 项，当n2 时，f(2) 1 21 31 4 3如果命题P(n)对nk成立，则它对nk1 也成立，现已知P(n)对n4 不成立， 则下列结论正确的是( ) AP(n)对nN N* *成立 BP(n)对n4 且nN N* *成立 CP(n)对n的过程中，由1 n11 n21 nn13 24 nk推导nk1 时，不等式的左边增加的式子是_ 8凸n边形有f(n)条对角线，凸n1 边形有f(n1)条对角线，则f(n1)f(n) _. 三、解答题(共 38 分)9(12 分)用数学归纳法证明 1 1 n (nN N
11、* *)n 21 21 31 2n1 2610(12 分)(2011新乡月考)数列an满足an0，Sn (an)，求S1，S2，猜想1 21 an Sn，并用数学归纳法证明11(14 分)(2011郑州月考)已知函数f(x)e(其中 e 为自然对数的底数)1 x21 |x| (1)判断f(x)的奇偶性； (2)在(，0)上求函数f(x)的极值；(3)用数学归纳法证明：当x0 时，对任意正整数n都有f( )521，n05. 5A 假设当nk时，原式能被 9 整除， 即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除 当nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3 展开
12、，让其出现k3即可 课堂活动区 例 1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等 式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由nk到nk1 时，等式的两边会增加多 少项，增加怎样的项 证明 设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.7(1)当n1 时，左边1，右边1，等式成立； (2)假设当nk (k1 且kN N* *)时等式成立， 即 1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，1 6 则当nk1 时， f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1) 12(k1)1 f(k)123k(k1)k(k1)(k2) (k1)(k11)1 61
13、 2 (k1)(k2)(k3)1 6 由(1)(2)可知当nN N* *时等式都成立 变式迁移 1 证明 (1)当n1 时，左边1 右边，1 21 21 11 等式成立 (2)假设当nk (k1，kN N* *)时，等式成立，即1 1 21 31 41 2k11 2k.1 k11 k21 2k 则当nk1 时，1 1 21 31 41 2k11 2k1 2k11 2k21 k11 k21 2k1 2k11 2k21 k111 k121 2k1 2k1(1 k11 2k2)，1 k111 k121 2k1 2k11 2k1 即当nk1 时，等式也成立， 所以由(1)(2)知对任意的nN N* *等式都成立 例 2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1 的推证过程中， 证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等证明 (1)当n2 时，左边1 ；右边.1 34 352 左边右边，不等式成立 (2)假设当nk (k2，且kN N* *)时不等式成立，即.(11 3)(11 5) (11 2k1)2k12 则当nk1 时，(11 3)(11 5) (11 2k1)11 2k112k122k2 2k12k22 2k14k28k42 2k1.4k28k32
