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1、随机变量及其概率分布第二章 n离散型随机变量及其分布律n正态分布n连续型随机变量及其分布律n随机变量函数的分布在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量及其分布Random Variable and Distribution随机变量n基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“
2、反面”来表示的可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”Random Variablen 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化例例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为取球结果为: : 两个白球两个白球; ;两个红球两个红球; ;一红一白一红一白特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系如果用如果用X表示取得的红球数，则，则X X的取值可为的取值可为0 0，1 1，2 2。此时，此时， “两只红球两只红球”= “X= “X取到值取到值2 2”, , 可记为 X=2 “一红一白一红一白”记为 XX=1=1 ,
3、 ,“两只白球两只白球”记为 XX=0=0 试验结果的数量化随机变量的定义1) 它是一个变量2) 它的取值随试验结果而改变3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件n随机变量n随机变量的两个特征:设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间上的随机变量。某个灯泡的使用寿命X。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在0，1区间上随机取点，该点的坐标X.X 的可能取值为 0,+)Y 的可能取值为 0，1，2，3，.,X 的可能取值为 0，1上的全体实数。n n例例随机变量的实例用随机变量表示事件n若X是随机试验E的一个随机变量，SR，那么XS可表示E
4、中的事件如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为： X=2 X=4 X=6“出现的点数小于”可表示为：X0, 则称X服从参数为的泊松分布XP()n定义n服务台在某时间段内接待的服务次数X；n交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;n矿井在某段时间发生事故的次数;n显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；n单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3
5、次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率例解泊松定理泊松定理实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即 可用泊松公式近似替换二项概率公式二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 随机变量的分布函数设X为一随机变量,则对任意实数x，(X5 时所以0 1 51已知连续型随机变量X的概率密度为（2） 求 X 的分布函数（2)求X 的密度函数均匀分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X
6、在区间 （a，b）上服从均匀分布记为 X U (a, b)Uniform Distributionn定义n分布函数0 a bxX“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能” 理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区 间的长度而与子区间的位置无关。0 a bx（ ） c d n意义102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客 到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布解例XU（0，5）几何概型（一维） 设在-1，5上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解 方程有实数根 即 而 的密度函数为 所求概率为 指数分布若连续型随机变量X的概率密度为Exponential Distributionn定义n分布函数则称X服从参数为 的指数分布.例设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 及和解X的概率密度
