《高等数学 第五章 定积分及其应用习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 第五章 定积分及其应用习题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章第五章 定定积积分及其分及其应应用用【内容提要内容提要1定积分的概念和性质 （1 1）定积分的定义）定积分的定义设 是定义在 上的函数，在区间 内任意插入 个)(xf , a b , a b1n分点将其分成 个小区间。 记0121,nnaxxxxxbLn，在每个小区间上任取一点 1(1,2, )iiixxxinLmaxix，下列和式的极限存在，且与小区间的划分及 的选取1,iiixx 01lim( )nii ifx gi无关，则称函数 在 上可积，并称该极限值为 在 上的定积)(xf , a b)(xf , a b分 ，记作，即，其中 称为被积函( ) dbaf xx01( ) dlim
2、( ) dnbiiaif xxfxx )(xf数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分下限， 称为积分上( ) df xxxab限， 称为积分区间。 , a b（2）定积分的性质）定积分的性质1）常数因子可以提到积分号外 （ 为常数） 。( )d( )dbbaakf x xkf x xk2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf x xg x x3）对任意单个实数 恒有。, , ,a b c( )d( )d( )dbcbaacf x xf x xf x x4）若在区间 上，被积函数 ，那么 , a b( )f xK( )ddd
3、()bbbaaaf x xK xKxK ba特别地，当 时，1K ( )ddbbaaf x xK xba5）如果在区间 上， ，则 ()。 , a b( )( )f xg x( )d( )dbbaaf x xg x xab6）记函数 在闭区间 上的最大值和最小值分别为 和 ，则 ( )f x , a bMm()( )d()bam baf x xM ba7）设函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使( )f x , a b , a b得 ( )d( )()baf x xfba2.2.定积分的计算（1 1）牛顿）牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式 如果函数在区间上连续，且是的任意)(
4、xf,ba)(xF)(xf一个原函数，那么 。( )d( )( )baf xxF bF a（2 2）定积分的换元法）定积分的换元法设函数在区间上连续，并且满足下列条件：)(xf,ba（1），且，；)(tx)(a)(b（2）在区间上单调且有连续的导数；)(t,)(t（3）当 从变到时，从单调地变到。t)(tab则有( )d( ( )( )dbaf xxfttt（3 3）定积分的分部积分法）定积分的分部积分法设函数和在区间上有连续的导数，则有)(xuu )(xvv ,ba( ) ( )d ( ) ( )( ) ( )dbbb aaau x v xxu x v xv x u xx3.3.定积分的应用
5、实际应用时，通常按以下简化步骤来进行： （1）根据实际情况选取积分变量，并确定相应的积分区间。由于分割的任x,ba意性，为简便起见，对省略下标，得，用表示( )iiiSfx( )Sfx ,d x xx内的任一小区间，并取小区间的左端点为，则的近似值就是以为底，,baxSdx为高的小矩形的面积，即。用微分表示，则有微元)(xf( )dSf xxd( )dSf xx（2）将所有部分量累加起来，便得到所求量的积分表达式，然后S( )dbaSf xx计算它的值。利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。1） 定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。 2） 定积分在物理上的
6、应用，求液体的压力和变力做功。 4.广义积分和函数（1 1）广义积分）广义积分1）无穷积分无穷积分 设函数连续，若极限 存在，则称此极限值为函数lim( )dbabf xx 在无限区间上的无穷积分，记作 ，此时( )f x ,)a +( )dlim( )dbaabf xxf xx称无穷积分存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分不存在( )d af xx( )d af xx或发散。类似地，可以定义在无限区间上的广义积分( )f x(, b( )dlim( )dbbaaf xxf xx 也可定义在无限区间上的广义积分( )f x(,) +( )d( )d( )dkkf xxf xxf xx2）瑕积
7、分瑕积分 设函数在内连续，是 的瑕点，有。( )f x , )a bxb( )f xlim( ) xbf x 若极限 存在，则称此极限值为函数在上的瑕积分或无界 0lim( )dbaf xx( )f x , )a b函数的广义积分，记作，并称瑕积分收敛，即( )dbaf xx( )dbaf xx0( )dlim( )dbbaaf xxf xx若极限不存在，则称瑕积分发散。( )dbaf xx（2 2） 函数函数将含参变量的广义积分 称为函数。(0)s s 10( )e d ,(0)sxsxx s【习题解答习题解答】5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。（1）圆的面积； 2224xya（2）抛物
8、线，直线及轴所围成的图形面积；21 2yx2x x（3）质量关于时间 的减少率为的葡萄糖代谢在到这段时mtd( )0.05dmf ttt 1t2t间内减少的质量。m解（1）22204daSaxx（2）2201d2Sxx（3）21( 0.05 )dttmtt5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。（1）与 （2）与4 0arctan dx x 24 0(arctan ) dxx 43ln dx x423(ln ) dxx（3）与 （4）与1411dxx 121(1)dxx 20(1cos )dxx 2201d2xx解（1）当时，所以，从而40 x1arctan0x2)(arctanarcta
9、nxx 244 00arctan d(arctan ) dx xxx （2）当时，所以，从而43 x1lnx2)(lnlnxx 44233ln d(ln ) dx xxx（3）因为，所以2411xx1142111d(1)dxxxx （4）当时，从而20 x2 21cos1xx 222001(1cos )dd2xxxx 5-3 求下列导数。 （1）； （2）；20dsinddxttxcosarctande ddxtxtx（3）由参数方程所确定的函数的导数； 02022tutudueuyduuexxy dd（4）由方程确定的函数的导数。1dsind2002xyttttt)(xyy xy dd解 （
10、1）220dsindsindxttxx（2）cosarctande ddxtxtxcosarctan 21esine1xxxx（3）224 22de ( 2 ) de (2 )ttytttxtt （4）方程两边关于求导得 ，即1dsind2002xytttttx222sin0y yx22sin2 dd yx xy5-4 计算下列定积分。（1）； （2）；2211 d(3 -1)xx320edxx（3）； （4）；441d1sinxx10d eexxx（5） ； （6）；1032 dxx x3211d 1x xx（7）； （8） ；12211d 1x xx10arctand(1)xxxx（9）设
11、，求。 0 ,0 ,1)(2xexxxfx3 1 d)2(xxf解 （1）=2211 d(3 -1)xx211113 3110x（2）=320edxx232202ed(2)ed(2)xxxx222 32 02eeee2xx （3）=441d1sinxx4424411dd1sin(sincos)22xxxxx42413d()cot248sin ()24x x （4）=10d eexxx112200e1ddee1e1x x xxx 1 0arctan(e )arctane4x（5）令，则=tx 231032 dxx x2133()d2tttt 142313 32(3 )d25ttt（6）令，则=t
12、xtan3211d 1x xx3344111cosdlnsin21costttt12ln23（7）令，则=txtan12211d 1x xx44442cos12 32 2dsinsin6tttt （8）=10arctand(1)xxxx120arctan2d1()xxx212 1 002arctandarctan(arctan)16xxx（9）令=, 2 xt3 1 d)2(xxf1012110( )(1)deddxf ttxxx 3 01 1041ee-1=+e333xxx5-5 利用函数的奇偶性计算下列定积分。（1）； （2）；4sin dxx x4224cosdx x（3）； （4）。3
13、25425sind21xxxxx( cos5sin2)daaxxxx 解（1）因为 为奇函数，所以xx sin44sin d0xx x（2）4224cosdx x24222 004 2cosd22cosdx xxx 2222 0021cos2d212cos2cos 2dxxxxx 222 00022cos2 d(2 )1cos4dxxxxx 22 0012sin2cos4 d(4 )24xxx234sin41 2320x（3）因为为奇函数，所以12sin2423 xxxx325425sind021xxxxx（4）利用定积分的线性性质可得,( cos5sin2)daaxxxx cos d5sin d2daaaaaaxx xx xx 而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为 0，则 ( cos5sin2)daaxxxx 2d2d4aaaaxl xa 5-6 计算下列定积分。（1）； （2）；120edxxx10ln(1)dxxx（3）； （4）；10arctan dxx x22()edxxxx（5） ； （6）；4 0d1cos2xxx41lndxxx（7）。e1 elndxx解 （1）120edxxx112212 000111deeed222xxxxxx
