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1、Project #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects of Undergraduate Course “Loads and Structural Design Methods“ Page 1结构可靠度分析与设计的编程实践结构可靠度分析与设计的编程实践姓名 彭汉 摘要：本文根据结构可靠度分析与设计的基本原理，选用了摘要：本文根据结构可靠度分析与设计的基本原理，选用了 MATLAB 语言，编写计语言，编写计 算机程序，对课程中所给出的例题进行编程实现，并给出结果展示。算机程序，对课程中所给出的例题进行编程实现，
2、并给出结果展示。1. 引言引言已建结构的可靠性理论产生于 20 世纪 70 年代发达国家维修改造业迅速发展时期，研究内容 主要集中于已建结构的损伤评估、模式识别和可靠性评价。1994 年美国的姚治平和德国的 Natke 对已建结构的损伤检测及可靠性评价作了更深入的研究。现有的国际标准和一些国家的标准都可 用可靠性指标 来度量结构的可靠性。它是结构可靠性分析中的又一重要概念。求解结构的可靠 性指标是一个非常复杂的问题，这是由于影响结构可靠性的因素繁杂，而且各因素之间相互影响。 文中引入了验算点法和 JC 法，主要是介绍用 MATLAB 来实现这两种算法的程序。2. 结构可靠度分析的基本原理结构可
3、靠度分析的基本原理2.1 结构可靠度分析建立的结构可靠与不可靠的界限，称为极限状态。我国将极限状态分为承载 能力极限状态(包括条件极限状态)和正常使用极限状态两类。承载能力极限状态对应于结构或结构 构件达到最大承载能力或出现不适于继续承载的变形；正常使用极限状态对应于结构或结构构件 达到正常使用或耐久性能的某项规定限值；条件极限状态也称破坏安全极限状态，对应于已局 部出现破坏的结构的最大承载能力。 结构的极限状态可用下列极限状态方程描述：12( ,.,)0nZg x xx式中：，是指结构上各种作用或作用效应、材料性能、几何参数等.(1,2,., )ix in其中，结构的功能函数或功效函数为：
4、12( ,.,)nZg x xx对于承载努力极限状态，若令为结构抗力，为作用综合效应，则有RS( , )Zg R SRS式中：，结构处于可靠状态；，结构处于失效状态；，结构处于极限状态。0Z 0Z 0Z 根据结构的极限状态和功能函数可得结构的可靠度(即可靠概率)和失效概率sPfP0sPP ZP RS0fPP ZP RS用概率干涉法计算的公式为：fPProject #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects of Undergraduate Course “Loads and Structural Design M
5、ethods“ Page 200( )fzPP Zfz dz 由于功能函数中有许多个若用概率干涉法，直接计算则十分复杂，而且不一定能计算出。fP若令，则可用近似计算，其中为结构可靠度指标，本文中基于验算点法zz()fP 和 JC 法用 MATLAB 进行编程计算。 2.2 验算点法 2.2.1 功能函数为线性函数功能函数随机变量是一个正态随机变量，其概率密度函数和 U 的密度曲线如图 1 示Z图 1 一个随机变量时的可靠指标（左图为正态随机变量，右图为标准正态随机变量）假定存在 n 个相互独立的随机变量，其均值为，标准差为12,.,nXXX 12,., nXXX结构功能函数为： 12,., n
6、XXX（1） niiixXaagZ10n321.XX,X,X其中为常数niai.3 , 2 , 1将随机变量变换为标准正态随机变量niXi.3 , 2 , 1niYi.3 , 2 , 1niXYiiXXi i.3 , 2 , 1则由（1）表示的功能函数表示成123n00 111Y ,Y ,Y .Y iiiinnnYiXXiiXiX iiiZgaaYaaaY从而功能函数的平均值和标准差表示为 niXiZiaa 10 niXiZia122O ZfzZZZ uOProject #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects
7、 of Undergraduate Course “Loads and Structural Design Methods“ Page 3按照严格的可靠度指标定义（3） niXiniXiZZiiaaa12210可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系 fP对极限状态方程 0110 niXiniXiYaaaZ ii两端同时除以得到： niXiia122（4）0122101221 niXiniXiniXiniXiiiiiaaaaYa与公式（3）比较，有（5）01221 niXiniXiiiaYa令niaaniXiXi YYiiii,.3 , 2 , 1cos122 公式（5）可以写成：(6）0c
8、os11 niiYniYYY ii公式（6）表示的是一法线式的直线方程，为法线与坐标轴夹角余弦 iYcos1cos1 niYiProject #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects of Undergraduate Course “Loads and Structural Design Methods“ Page 42cosY1cosY2*1*,yyO21, yy1Y2Y图 2 可靠度指标的几何意义及验算点验算点在空间（标准正态空间）表示为：Y* 3* 2* 1*.,nyyyyy在空间表示为：X* 3* 2*
9、 1*.,nxxxxx两者之间的关系为：niyxiXXiii,.3 , 2 , 1*根据几何关系有：niy iiYYi,.3 , 2 , 1cos*在空间，验算点坐标值：Xnix iiiiiiYXXYXXi,.3 , 2 , 1cos*通常表示为：nix iiiiiiXXXXXXi,.3 , 2 , 1cos*2.1.3 功能函数为线性函数假定随机变量服从正态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，这时精确 12,.,nXXX求解的平均值和标准差是非常困然的。同结构功能函数为非线性的情形一样，如果将可靠指标定义Z 为标准正态坐标系中坐标原点到极限状态曲面的距离，垂足为验算点，则不管结构极限状
10、态方程的数 学表达形式如何，只要具有相同的力学或物理含义，在标准正态坐标系中，所表示的都将是同一个曲 面，曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个。因而，所得到的可靠指标是唯一的，不像中心点法 那样，随结构极限状态方程数学表达式的形式而变。Project #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects of Undergraduate Course “Loads and Structural Design Methods“ Page 52*1*, yyO1Y2Y图 3 验算点取法如果验算点已知* 3* 2* 1*.,n
11、xxxxx可以在该点一次项展开： *1* * 3* 2* 1.,iiniiX nXLxXXgxxxxgZ x其均值和标准差为： *1* * 3* 2* 1*1* * 3* 2* 1.,.,iXniiX nXiiniiX nXLZxXgxxxxgxEXXgxxxxgEZiLxxProject #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects of Undergraduate Course “Loads and Structural Design Methods“ Page 6 niX iXniiiiinjjXiXLLZi
12、LXgEXXEXXEXg XgEZZE12*11*xxx所以可靠度指标： niX iXiXniiX nXZZiiLLXgxXgxxxxg12*1* * 3* 2* 1.,xx实际上验算点不可知，需要补充条件：nix iiiXXXi,.3 , 2 , 1cos*对比表达式得到： niXgXgnjX jXX iXXjii.3 , 2 , 1cos12* xx2.3 JC 法验算算点法的特点是能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠指标进行精度较高的计算。对于极限状态方程中包含非正态分布的随机变量的情形，在进行其可靠度分析时，一般要把非正态随机变量当量化为正态随机变量。当量正态化方法即为 JC 法。它的基本思想就是：在设计验算点处，当量正态随机变量 (其均值,标准差为)的分布函数值与原随机变*x*X*IX*IX*IXF量(其均值，标准差为)的分布函数值相等；在设计验算点处，当量正态随机变量*ix*Ix*IxF*x(其均值,标准差为)的概率密度函数值与原随机变量(其均值，标准差为)的*X*IX*IX*IXf*ix*Ix概率密度函数值相等。*Ixf下面详细介绍一下验算点法的具体步骤。Project #2 of Loads and Structural Design Methods Autumn, 2012Projects of Undergraduate Cou
