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1、书书书炎德?英才大联考理科数学? 长郡版?题?答?要?不?内?线?封?密?号?学?名?姓?级?班?校?学炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷?五?数?学? 理科?长郡中学高三数学命题组组稿得分?本试题卷包括选择题? 填空题和解答题三部分? 共?页?时量? ? ?分钟?满分? ? ?分?一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符合题目要求的? ?复数? ? ? ?所对应的点位于复平面内?第一象限? ?第二象限?第三象限?第四象限? ?已知离散型随机变量?的分布列为? ? ?则?的数学期望? ? ? ? ?已知? 是定义
2、在?上的奇函数? 当?时? 则函数? ?的零点的集合为? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ? ?在? ? ?的展开式中? 记?项的系数为? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知命题? 则非?是?不属于? ?不属于?或?不属于?不属于?且?不属于? ?若执行如图所示的程序框图? 输出?的值为? 则判断框中应填入的条件是? ? ? ? ? ?炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ?已知三棱锥的底面是边长为?的正三角形? 其正视图与俯视图如图所示?则其侧视图的面积为?槡? ?槡? ? ?已知函数? ? ? ?的图象分别与直线?交于?两点? 则? ?的最小值为? ? ? ?
3、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设函数?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 且其图象关于直线? ?对称? 则? 的最小正周期为? 且在?上为增函数? ? 的最小正周期为? 且在?上为增函数? 的最小正周期为? 且在?上为减函数? 的最小正周期为? 且在?上为减函数? ? ?对于三次函数? ? ? ? ? ? 给出定义? 设? ? 是函数? 的导数? ? 是? ? 的导数? 若方程? ?有实数解? 则称点? ? 为函数? 的? 拐点?某同学经过探究发现?任何一个三次函数都有? 拐点? ? 任何一个三次函数都有对称中心? 且? 拐点? 就是对称中心?设函数? ? 则? ? ? ? ? ?
4、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?选择题答题卡题?号? ?得分答?案炎德?英才大联考理科数学? 长郡版?二? 填空题? 本大题共?小题? 考生作答?小题? 每小题?分? 共? ?分?把答案填在答题卡中对应题号后的横线上? 一? 选做题? 请考生在第? ? ? ?三题中任选两题作答? 如果全做? 则按前两题记分? ? ?如图? ?是半圆?的直径? 点?在半圆上? ? ? 垂足为? 且? ? ? 设? ? ? 则? ? ?的值为? ? ?已知在平面直角坐标系? ? ?中? 圆?的参数方程为?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 以? ?为 极
5、轴 建 立 极 坐 标 系? 直 线?的 极 坐 标 方 程 为? ? ? ? 则圆?截直线?所得的弦长为? ? ?不等式? ? ? ? ? ? ? ?对一切非零实数?均成立? 则实数?的取值范围为? 二? 必做题? ? ? ? ?题? ? ?已知点?是不等式组? ? ? ? ? ? ? ?所表示的平面区域内的一个动点?点? ? ?为坐标原点? 则? ? ? ? ?的取值范围是? ? ?如图? 已知过椭圆? 的左顶点? 作直线?交?轴于点? 交椭圆于点? 若? ? ?是等腰三角形? 且? ? ? ? ? 则椭圆的离心率为? ? ?等边? ? ?的边长为? 取各边的三等分点并连线? 可以将? ?
6、 ?分成如图所示的?个全等的小正三角形? 记这?个小正三角形的重心分别为? ? 则? ? ? ? ? ? ?炎德?英才大联考理科数学? 长郡版?三? 解答题? 本大题共?小题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤? ? ? 本小题满分? ?分?某车间甲组有? ?名工人? 其中有?名女工人? 乙组有?名工人? 其中有?名女工人? 现采用分层抽样方法? 层内采用不放回简单随机抽样? 从甲?乙两组中共抽取?名工人进行技术考核? 求从甲? 乙两组各抽取的人数? 记?表示抽取的?名工人中男工人数? 求?的分布列及数学期望? ? ? 本小题满分? ?分?在? ? ?中? 角?的对边分别是
7、? 若槡? ? ? ? ? 求角?的大小? 若? ? ? ?的面积为槡? ? 求? ? ? ? ?的值?炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? 本小题满分? ?分?如图? 在四棱锥? ? ? ?中? 底面? ? ? ?为矩形? ?平面? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?是? ?中点?为? ?上一点? 求证? ?平面? ? ? 当? ?为何值时? 二面角? ?为? ? ? ?炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? 本小题满分? ?分?已知数列? 的前?项和为? ? ? ? ? 求证? 数列? ?是等比数列? 设数列? 的前?项和为?试比较?与? ?的大小?炎德?英才大联考理科数学?
8、 长郡版? ? ? 本小题满分? ?分?如图?为坐标原点? 点?为抛物线? ? ? 的焦点? 且抛物线?上点?处的切线与圆? ?相切于点? 当直线? ?的方程为?槡? ?时? 求抛物线?的方程? 当正数?变化时? 记?分别为? ? ? ? ?的面积? 求?的最小值?炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? 本小题满分? ?分?已知函数? ? ? ? ? 当? ?时? 讨论函数? 在?上的单调性? 如果?是函数? 的两个零点? 且? ? 是函数? 的导函数? 用?表示?并证明? ? ? ?书书书炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版?炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷?
9、 五?数学? 理科? 参考答案一? 选择题题?号? ?答?案?二? 填空题? ? ?槡 ? 解析? 令圆?的半径为? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由相交弦定理可得? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?槡 ?槡 ? 故答案为槡 ? ? ?槡? ? 解析? 由?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两式平方相加得?槡? ? ? ?由? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即槡 ? ?如图圆心?槡 ? 到直线槡 ? ?的距离为? 槡槡? ? ? ?槡 ? ?槡? ?所以直线?被圆?所截得的弦长为?
10、 ? ? ? ?槡?槡? ? ?故答案为槡? ? ? ? 解析? ? ? ? 其最小值为?又? ? ? ?的最大值为? 故不等式? ? ? ? ? ? ? ?恒成立时? 有? ? ? ? ? 解得? ? 故答案为? ? ? ? 解析? 作出不等式组对应的平面区域如图?设? ? ? ? ? ?由? 得?表示斜率为?纵截距为?的一组平行直线?平移直线? 当直线?经过点?时? 直线?的截距最小? 此时?最小?当直线?经过点?时? 直线?的截距最大? 此时?最大?由? ? ? ? ? 解得? ? ? 即? ? 此时? ? ? ? ? ? ? ? ?由? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? 即?
11、 此时? ? ? ? ? ? ? ? ?故? ? ? ? 故答案为? ? ? ?槡? ? 解析? ? ?是等腰三角形? ?设? ? ? ? ? ? ? ?炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版? ? ? ? 解得?代入椭圆方程得? ? 化为? ? ?槡?槡? ?故答案为槡? ? ? ?槡? ? 解析? ? ?为等边三角形? 边长为? ? ? ? ? ?槡 ? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?故答案为槡? ?三? 解答题? ? ?解? ? 因为甲组有? ?名工人? 乙组有?
12、名工人? 从甲? 乙两组中共抽取?名工人进行技术考核? 根据分层抽样的原理可直接得到? 在甲中抽取?名? 乙中抽取?名?分?的可能取值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的分布列为? ? ? ? ? ? ? ?故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ?解? ?槡? ? ? ? ? ?由正弦定理得?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ?槡? ? 又? ?分? ? ? ?的面积为槡? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?由余弦定理得?
13、 ? ? ? ? ? ? ? 即?槡? ? ? ?槡 ? ?槡? ? ? ? ?槡 ? ?则? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ?槡 ? ? ? ? ?分? ? ?解? ? 证明? 以?为原点? ?为?轴? ?为?轴? ?为?轴? 建立空间直角坐标系? ? ? ? ?槡? ?是? ?中点? ? ? ?槡 ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?平面? ? ?分? 设? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡 ? ? ?设平面? ? ?的法向量? ?则? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? 取? ?
14、得?槡 ?槡 ? ?炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版?平面? ? ?的法向量为? ? ? ?二面角? ?为? ? ? ? ? ? ? ?槡 ?槡 ?槡? ? ?槡? ?槡 ? 解得?槡? ?当? ?槡? ?时? 二面角? ?为? ? ? ? ?分? ? ?解? ? 由? ? ? ?得?由? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ?于是? ? ? ? ? ?整理得? ? ? ? ? 所以数列? ?是首项及公比均为?的等比数列?分? 由? 得? ? ?于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又? ? ? 问题转化为比较? ?与? ?的大小? 即?与?
15、?的大小?设? ? ? ? ? ? ?当? ?时? ? ?当? ?时? 单调递增?当? ?时? ? 而? ?当? ?时? ?经检验? ?时? 仍有? ?因此? 对任意正整数? 都有? ? 即? ? ?分? ? ?解? ? 设点? ? 由? ? ? ? 得? 求导? ?因为直线? ?的斜率为? 所以? ?且?槡? ? ? 解得?槡? ? ?所以抛物线?的方程为?槡? ? ?分? 因为点?处的切线方程为? ? 即? ? ? ?根据切线与圆切? 得? 即? ? ?槡? ? 化简得? ? ?由方程组? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ?所以? ? ? ?槡? ? ?槡?槡? ?点?到切线? ?的距
16、离是? ? ?槡?槡?所以? ?槡? ?槡? ? ? ? ? ?炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版?而由? ? ?知? ? 得? ? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ?当且仅当? ? ?时取? 号? 即?槡? ? ? ? ? 此时?槡槡? ? ? ?所以?的最小值为槡? ? ? ? ?分? ? ?解? ? 法一? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令? ? ?得?槡 ? ? ? 负根舍去? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ?故在?上? ? ?恒成立?在?上函数? 单调递减?分?法二? ? ? ? ? ? ?因为?和? ?在?上是减函数? 且? ?所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在?上恒成立?所以在?上函数? 单调递减?分? 是函数? 的两个零点? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?两式相减可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在? 上单调递减? ?又? ? ? ? ? ? ?分?
