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1、课课 题题：8 86 6 抛物线的简单几何性质（二）抛物线的简单几何性质（二）教学目的：教学目的： 1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 奎屯王新敞新疆教学重点：教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：授课类型：新授课 奎屯王新敞新疆课时安排：课时安排：1 课时 奎屯王新敞新疆教教 具具：多媒体、实物投影仪 奎屯王新敞新疆教学过程教学过程： 一、复习引入：一、复习引入： 抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离
2、心率022ppxyxyOFl0 , 0轴x0 ,2p 2px1e022 ppxyxyOFl0 , 0轴x0 ,2p2px 1e022 ppyx0 , 0轴y 2, 0p 2py1e022 ppyx0 , 0轴y2, 0p 2py 1e注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离 奎屯王新敞新疆p 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线奎屯王新敞新疆二、讲解新课：二、讲解新课： 1.抛物线的焦半径及其应用： 定义：抛物线上任意一点 M 与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径奎屯王新敞新疆F 焦半径公式：抛物线，)0(22ppxy0022xppxPF抛物线， )0(22ppxy0022xppxPF
3、抛物线， )0(22ppyx0022yppyPF抛物线，)0(22ppyx0022yppyPF2直线与抛物线： （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点） ；相离（无公共点） ；相切（一个公共点）奎屯王新敞新疆下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22ppxy当直线为，即，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点0yy 0k奎屯王新敞新疆当，设0kbkxyl:将代入，消去 y，得到bkxyl:0:22FEyDxCyAxC关于 x 的二次方程奎屯王新敞新疆 （*）02cbxax若，相交；，相切；，相离奎屯王新敞新疆000 综上，得：联立，得关于 x 的方程 pxybkxy2202cb
4、xax当（二次项系数为零） ，唯一一个公共点（交点）奎屯王新敞新疆0a当，则0a 若，两个公共点（交点）奎屯王新敞新疆0 ，一个公共点（切点）奎屯王新敞新疆0 ，无公共点 （相离）奎屯王新敞新疆0 （2）相交弦长：弦长公式：，其中 a 和分别是（*）中二21kad02cbxax次项系数和判别式，k 为直线的斜率奎屯王新敞新疆bkxyl:当代入消元消掉的是 y 时，得到，此时弦长公式相应的变为：02cbyay奎屯王新敞新疆211kad（3）焦点弦： 定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：),(),(2211yxByxA当抛物线焦点在 x 轴上时
5、，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线， 奎屯王新敞新疆)0(22ppxy)(21xxpAB抛物线， 奎屯王新敞新疆)0(22ppxy)(21xxpAB当抛物线焦点在 y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线， 奎屯王新敞新疆)0(22ppyx)(21yypAB抛物线，奎屯王新敞新疆)0(22ppyx)(21yypAB（4）通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆直接应用抛物线定义，得到通径：奎屯王新敞新疆pd2（5）若已知过焦点的直线倾斜角则 pxypxky2)2(20222pykpy 2 21212pyykpyysin2442 2221ppkpyy221sin2 s
6、in1pyyAB（6）常用结论：和 pxypxky2)2(20222pykpy04)2(22 222pkxppkxk和奎屯王新敞新疆2 21pyy421pxx3抛物线的法线： 过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物 线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质： 经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴， 那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连 线的夹角如图 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用例如， 在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出 的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是 利用这个光学性质设计的反过来，也可以把射来
7、的平行光线集中于焦点处， 太阳灶就是利用这个原理设计的奎屯王新敞新疆 4抛物线的参数方程：（t 为参数）)0(22ppxy 222ptyptx三、讲解范例：三、讲解范例： 例例 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长)0(22ppxy分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明 x 轴是它们公 共的对称轴，则容易求出三角形边长解：如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上，且坐标分别为、),(11yx，则 ，),(22yx12 12pxy22 22pxy又|OA|OB|，所以 2 22 22 12 1yxyx即 22 212 122p
8、xxpxxxy平行于轴法线切线OxyBAO0)(2)(212 22 1xxpxx0)(2)(2121xxpxx ， 02 , 0, 021pxx21xx 由此可得，即线段 AB 关于 x 轴对称|21yy 因为 x 轴垂直于 AB，且AOx30，所以 3330tan011xy所以， 奎屯王新敞新疆pypxy3212111pyAB342|1四、课堂练习四、课堂练习： 1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长奎屯王新敞新疆（答案：边长为）022ppxyp342正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程奎屯王新敞新疆022pp
9、xy分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：x，022Dxyx又 圆过点， 所求圆的方程为32,6pA0822pxyx3已知的三个顶点是圆与抛物线ABC0922xyx的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线022ppxyABC的方程奎屯王新敞新疆（答案：）xy424已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线OABOAB上， （1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；022ppxyAB（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说AB明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程奎屯王新敞新疆OABM答案：（1）； ；（2）直线过定点2 214pyy2 214pxx
10、AB0,2p（3）点的轨迹方程为 奎屯王新敞新疆M0222xpypx5已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线OABOAB上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程022ppxyAB1,2D奎屯王新敞新疆（答案：）xy2526已知抛物线与直线相交于、两点，以弦022ppxy1xyAB长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：）ABxy 27已知直线与抛物线相交于、两点，若bxypxy220pAB， （为坐标原点）且，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆（答案：OBOA O52AOBS）xy228顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为x12 xy，求抛物线的方程奎屯王新敞新疆
11、（答案：或）奎屯王新敞新疆15xy122xy42五、小结五、小结 ：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式奎屯王新敞新疆 六、课后作业：六、课后作业：奎屯王新敞新疆七、板书设计七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、测八、测 试试 题：题：奎屯王新敞新疆1顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) yx2122抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，4） (C) （1，） (D) （1，）22223抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于 8，则抛物线方程为 4抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆 的方程是 5以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截191622 yx双曲线的左准线得弦AB，求OAB的面积 测试题答案：1A2D 3x28y 4 5奎屯王新敞新疆 9)23(22yx25512
