二次函数复习全部讲义

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1、1二次函数性质二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关， 是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。这些内容是中考二次函数重 点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。 一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例例 1 1、对于抛物线，下列说法正确的是（ ）21(5)33yx A开口向下，顶点坐标B开口向上，顶点坐标(5 3)，(5 3)，C开口向下，顶点坐标D开口向上，顶点坐标( 5 3) ，( 5 3) ，二、求抛物线的对称轴二、求抛物线的对称轴例例 2 2、二次函数的图象的对称轴是直线 。32

2、2xxy三、求二次函数的最值三、求二次函数的最值例例 3 3、若一次函数的图像过第一、 三、 四象限,则函数（ (1)ymxm2ymxmx）A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值4m4m4m4m四、根据图象判断系数的符号四、根据图象判断系数的符号例例 4 4、已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxaxy2Aa0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0，c0 五、比较函数值的大小五、比较函数值的大小例例 5 5、若A（） ，B（） ，C（）为1,413y2,45y3,41y二次函数的图象上的三点，则的大小关系是( ) 245yxx1,y2,y3yAB C D123yy

3、y213yyy312yyy132yyy六、二次函数的平移六、二次函数的平移例例 6 6、把抛物线向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物2yx 线的解析式为（ ）A. B. 2(1)3yx 2(1)3yx C. D. 2(1)3yx 2(1)3yx 例例 7 将抛物线23xy 绕原点按顺时针方向旋转 180后，再分别向下、向右平移 1 个单位，2此时该抛物线的解析式为（ ）A.1) 1(32xy B. 1) 1(32xyC.1) 1(32xy D. 1) 1(32xy例 8 在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 A(1,-4)且过 B(3,0). (1) 求该二次函数解析

4、式; (2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得 图象与 x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339 424yxx 代成2()ya xhk的形式（2）写出抛物线2339 424yxx 的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2yax的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339 424yxx 中，x的取值范围是03x，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等） 七、求代数式的值七、求代数式的值例例 9、已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式21yxxx(0)m，的值为（ ）A2006B2007C2

5、008D200922008mm八、求与坐标轴的交点坐标八、求与坐标轴的交点坐标例例 1010、抛物线 y=x2+x-4 与 y 轴的交点坐标为 例例 1111、如图是二次函数图像的一部分，该图在轴右侧与轴交点2) 1(2xayyx的坐标是 。二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系十分密切，历来是数学中考的 必考内容之一。同学们应学会熟练地将这两部分知识相互转化。二次函数与一元二次方程从形式cbxaxy202cbxax上看十分相似，两者之间既有联系又有区别。当抛物线的 y 的值为 0 时，cbxaxy2就得到一元二次方程。抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二

6、次方程02cbxax的根的情况。02cbxax1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的值等于 m,求自变量 x 的值,可以解一元二次方程 ax2+bx+c=m(即 ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程 ax2+bx+c=0(a0)又看作已知二次函数3y=ax2+bx+c 值为 0,求自变量 x 的值. 2.用表格给出二次函数 y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的关系.一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的情况二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点情况b2-4ac0有两个不相等的根有两个不同的交点b2-4ac=0有两相等的根只有惟一

7、的一个交点b2-4ac0无实数根无交点3弦长公式：如果抛物线的图象与 x 轴有两个交点)0(2acbxaxy由一元二次方程求根公式得，)0 ,(),0 ,(BAxxabxA2abxB2故这就是弦长公式，利aab abxxABBA22用此公式可以解决许多有关抛物线的问题 例 1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象（如图 1） ， 由图象可知关于 x 的方程 ax2+bx+c =0 的两个根分别是 x1=1.3 和 x2=_.例 2根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对2yaxbxcxy应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是20axbxc0aab

8、c ，x（ ） x6.176.186.196.202yaxbxc0.030.010.020.0466.17x6.176.18x 6.186.19x6.196.20x例 3已知函数的图象如图所示，那么关于2yaxbxc的方程的根的情况是（ ）x220axbxc A无实数根B有两个相等实数根 C有两个异号实数根D有两个同号不等实数根例 4.已知抛物线的图象与 x 轴有两个交点为，且mmxxy222),0 ,(1x)0 ,(2x，求 m 的值。52 22 1 xx例已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程22yxxm x的解为 220xxm图 14例二次函数是常数 中，自变量与函数的对应

9、值2(0yaxbxc aabc ，)xy如下表：x11 201 213 225 23y21 417 427 411 42（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标（2）一元二次方程是常数 的两个根的取值范围20(0axbxcaabc ，)12xx，是下列选项中的哪一个 12130222xx，12151222xx ，12150 222xx，121 3122 2xx ，例 4(贵阳)二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：2(0)yaxbxc a（1）写出方程的两个根 20axbxc（2）写出不等式的解集 20axbxc（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围 yxx（4）若方程

10、有两个不相等的实数根，求的取值范围 2axbxckk例 如图 3，一元二次方程 x2+2x-3=0 的二根 x1，x2(x1x2)是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点 B,C 的横坐标，且此抛物线过点 A(3,6)求此二次函 数的表达式二次函数的应用二次函数的应用中考命题中，既重点考查二次函数及其图象的有关基础知识， 同时以二次函数为背景的应用性问题也是命题热点之一，多数作压 轴题。因此，在复习中，关注这一热点显得十分重要。 应用二次函数，就是要把实际问题转化为二次函数的问题，它 的基本模式是： xy332211411 2O图 3实际问题 数学化数学问题实际问题的解检验数学问题

11、的解5同学们难的是，如何把实际问题数学化。我们要细心研究题意，能提炼出相关信息， 对相关信息进行分析、加工，看能不能形成抛物线的形式。从而把实际问题转化为数学问 题。 例 1、 （某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时， 房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入 住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加元求：x （1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式 （3 分）yx（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式 （3 分）zx （3）该宾馆客房部每天的利润（

12、元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价wx 为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（6 分）w 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别， 主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大 （或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什 么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而 不是解方程。 例 2、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部 分，请结合图象，解答以下问题： （1）求该抛物线对应的二次函数解析式 （2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最 大利润是多少？ （

13、3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？ 何时亏损？）作预测分析。 例例 3 3、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图 1(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形ABCD，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上，CFE、 ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成 CFE、ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米 价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图 1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四 边形 EFGH (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明 理由； (2)E、F 在什么位置时，定制这批地

14、砖所需的材 料费用最省？ 例 4 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25m） 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图 1）.若设绿化带的 BC 边长为 xm，绿化带的面积为 ym2. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；O132433yx第 1 月第 2 月第 3 月利润（万元）图 1(2)ADFBEC (1)EF GHABDC图 125mDCBA6（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 例 5 用长为 l2m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图 2，围出的苗圃是 五

15、边形 ABCDE，AEAB，BCAB，C=D=E设 CD=DE=xm，五边形 ABCDE 的面积为 S m2问当 x 取什么值时，S 最大?并求出 S 的最大值例 6 如图 3，抛物线（n 为常数）经过坐9222nnxxy标原点和 x 轴上另一点 C，顶点在第一象限 （1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标； （2）已知 A 点坐标为（2，8） ，在梯形 OABC 内有一矩形 MNPQ， 点 M、N 分别在 OA、BC 上，点 Q、P 在 x 轴上当 MN 为多少时，矩 形 MNPQ 的面积最大？最大面积是多少？例例 7 已知：如图 4，直角梯形中，ABCDADBC90Ao，10BCCD4sin5C （1）求梯形的面积；ABCD （2）点分别是上的