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1、19951995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设,则.221cos()sinyxxy (2) 微分方程的通解为.2yyx (3) 曲线在处的切线方程为.231xtyt 2t (4) .22212lim()12nn nnnnnnnL(5) 曲线的渐近线方程为.22xyx e二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满
2、分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 设和在内有定义,为连续函数,且,有间断点,则( )f x( )x(,) ( )f x( )0f x ( )x( )(A) 必有间断点 (B) 必有间断点 ( )f x2 ( )x(C) 必有间断点 (D) 必有间断点 ( )fx( ) ( )x f x(2) 曲线与轴所围图形的面积可表示为 ( )(1)(2)yx xxx(A) 20(1)(2)x xx dx(B) 1201(1)(2)(1)(2
3、)x xx dxx xx dx(C) 1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx(D) 20(1)(2)x xx dx(3) 设在内可导,且对任意,当时,都有,则( )f x(,) 12,x x12xx12()()f xf x( )(A) 对任意 (B) 对任意,( )0x fx,()0x fx (C) 函数单调增加 (D) 函数单调增加()fx()fx(4) 设函数在上,则或的大小( )f x0,1( )0fx(1)(0)(1)(0)ffff、(0)(1)ff顺序是 ( )(A) (B) (1)(0)(1)(0)ffff(1)(1)(0)(0)ffff(C) (D) (1)
4、(0)(1)(0)ffff(1)(0)(1)(0)ffff(5) 设可导,若使在处可导,则必有 ( )( )f x( )( )(1 |sin|)F xf xx( )F x0x (A) (B) (0)0f(0)0f (C) (D) (0)(0)0ff (0)(0)0ff 三、三、( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 3030 分分.).)(1) 求. 01coslim(1 cos)xx xx (2) 设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,求.( )yy x( )fyyxeef1f 22d y dx(3) 设,且,求. 2 2 2(1)ln2xf x
5、x ( )lnfxx( )x dx(4) 设试讨论在处的连续性.21arctan,0,( )0, 0,xxf xx x ( )fx0x (5) 求摆线一拱()的弧长.1 cos sinxt ytt 02t (6) 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度,已知阻力与速度成正比(比例常00tvv数为 1),问 为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程.t0 3v四、四、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )求函数的最大值和最小值.20( )(2)xtf xt e dt五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设是微分方程的一个解,求此微分方程满足条件的特xye( )xyp
6、 x yxln20xy解.六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )如图,设曲线的方程为,且,又分别为该曲线在点L( )yf x0y ,MT MP处的切线和法线,已知线段的长度为(其中00(,)M xyMP3 22 00(1)y y 00(),yy x),试推导出点的坐标表达式.00()yy x( , )P 七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设,计算. 0sin( )xtf xdtt0( )f x dx八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设,且,证明. 0( )lim1 xf x x( )0fx( )f xxxyOTL00(,)M xy( , )P 199
7、51995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】 222 22cos() sin12 sin() sinxxxxxx 【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法则, 222211cos()sincos() sinyxxxx222 21111sin() 2sincos() 2sincos( 1)xxxxxxx .222 22cos() sin12 sin() sinxxxxxx 【相关知识点】
8、复合函数求导法则：的导数为.( ( )yf x( ( )( )yf xfx(2)【答案】12cossin2ycxcxx【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,2yyx 0yy210r 特征根为,故对应齐次方程的通解为.1,2ri 12cossinCxCx设非齐次方程的特解,则,代入微分方程,得YaxbYa 0Y 2yyx ,02axbx 比较系数得故.所以通解为2,0,ab 2Yx .12cossin2yCxCxx【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程*( )yx的一个特解.是与之对应的齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x( )Y x的通解,
9、则是非齐次方程的通解.( )( )0yP x yQ x y*( )( )yY xyx2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方( )Y x( )( )0yP x yQ x y( )P x( )Q x程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根0ypyqy20rprq；12,r r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为12,r r12 12;rxr xyC eC e(2) 两个相等的实数根,则通解为12rr1 12;rxyCC x e(3) 一对共轭复根,则通解为其中1,2ri12cossin.xyeC
10、xCx为常数.12,C C3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定( )( )( )yP x yQ x yf x*( )yx系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如( )( ),x mf xP x e*( )( )kx myxx Qx e的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方( )mQx( )mP xk程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )cos( )sinx lnf xeP xxP xx的特解可设为( )( )( )yp x yq x yf x,*(1)(2)( )cos( )s
11、inkx mmyx eRxxRxx其中与是次多项式,而按(或)不是特征(1)( ) mRx(2)( ) mRxm max,ml nkii方程的根、或是特征方程的单根依次取为或 .01(3)【答案】370yx【解析】切线的斜率为.2222233322ttttdy dytdttdxdxt dt当时,.故所求切线方程为 .化简得 .2t 5,8xy83(5)yx370yx【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果,则.( ) ( )xt yt ( ) ( )dyt dxt (4)【答案】1 2 【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令22212 12nnannnnnnnL则 22212nnannnn
12、nnnnnL221(1)122 22 11.22n nn nnnn n n L又 ,222221(1)121212 2nn nnnannnnnnnnnnLL即 ,111 222nnan所以 .11111limlimlim22222nnnnnan由夹逼准则,得.即1lim2nna .222121lim()122nn nnnnnnnL(5)【答案】0y 【解析】函数的定义域为全体实数,且22xyx e,22limlim0xxxyx e 所以曲线只有一条水平渐近线.0y 【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则( )yf x0xx0lim( ) xxf x 是函数的一条铅直渐近线；0xx水
13、平渐近线：当(为常数),则为函数的水平渐近线.lim( ) xf xa aya二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D) 【解析】方法一方法一：反证法,利用连续函数的性质,即有限多个在同一点处连续的函数之乘 积,仍然在该点处连续.设函数无间断点,因为是连续函数,则必无间断点,这与( ) ( )x f x( )f x( )( )( )( )xxf xf x有间断点矛盾,故应选择(D).( )x方法二方法二：排除法,举出反例排除. 设 1,0,( )1, ( )1,0,xf xxx则都处处连续,排除(A),(B),(C).故应选择(D).2 ( )1, ( )1, ( )1f xfxx(2)【答案】(C) 【解析】方法一方法一：利用定积分的求面积公式有2200(1)(2)(1) (2)x xx dxx xx dx1201(1)(2)(1)(2)x xx dxx xx dx 应选择(C).方法二方法二：画出曲线的草图,所求面积为图中两面积之和,即(1)(
