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1、长沙理工大学备课纸 概率论与数理统计第 1 页 共 19 页1第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义 1：设 E 是一个随机试验，它的样本空间是.设 X(e)与 Y(e)是定义在同一样 e 本空间上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e)为上的二维随机向量或二维随机变量。简记为(X,Y).定义 2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数 x,y，称二元函数F(x,y)=PXx，Yy 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。(X,Y)的分布函数满足如下基本性质：(1)F(x,y)是变量 x,y 的不减函数.(2)0F(x,y)1,(, )0y F
2、y对于任意的,( ,)0x F x 对于任意的(,)0(,)1FF ，(3) ( , ),( , )(0, )( , )( ,0)F x yx y F x yF xyF x yF x y关于是右连续的，即 ，1122121222211211(4)( ,)(,),(,)(,)( ,)( ,)0x yxyxxyyF xyF xyF x yF x y对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义 3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。设(X,Y)的一切可能值为，且(X,Y)取各对可能值的概率为(,) , ,1,2,ijX Yi j L长沙理
3、工大学备课纸 概率论与数理统计第 2 页 共 19 页2,(,), ,1,2,iji jP X YPi jL(1) 非负性:；,0, ,1,2,i jPi jL,(2)1ij i jp 规范性：,( , ),iiij xx yyX YF x yP Xx YYp离散型随机变量的联合分布函数为定义 4：,( ,1,2,.)(, )ijP Xx YYp i jX YXY称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。(X,Y)的分布律也可用表格形式表示Y y1 y2 yi X X1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j . . . . . . .xi pi1 pi
4、2 pij 例 1:从一个裝有 2 个紅球,3 个白球和 4 个黑球的袋中随机地取 3 个球,设 X 和 Y 分別表示取出的红球数和白球数,求(X,Y)的分布律,并求 PX1,Y0, 且若对于任意实数 x，极限0limP xyYy 0,limP Xx yYy P yYy 存在，则称此极限为在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数，记作 PXx Yy或记为()X YFx y.长沙理工大学备课纸 概率论与数理统计第 10 页 共 19 页10同样,在 X=x 条件下随机变量 Y 的条件分布函数( | )Y XFy x 为0()limY XFy xP Yy xXx 设(X,Y)的分布函数为 F(x,y
5、)，概率密度为 f(x,y)。若在点(x,y)处 f(x,y)连续，边缘概率密度 fY(y)连续，且 fY(y)0，则有：000,()lim ( ,)( ,)lim()()( , ) ( ,)( ,)/2lim()()/2( )X YYYYYYP Xx yYyFx yP yYy F x yF x y FyFyF x y F x yF x yy dFyFyFydy 亦即 ( , )( , )()( )( )xxX Y YYf u y duf u yFx ydufyfy若记()X Yfx y为条件 Y=y 下 X 的条件概率函数，则由上式知：( , )()( )X Y Yf x yfx yfy类似
6、地在相应条件下可得在 X=x 条件下 Y 的条件概率密度为 ( , )()( )Y X Xf x yfy xfx例 2： 设随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)x2+y21上服从均匀分布，求条件概率密度()X Yfx y解： (X,Y)的概率密度为2211( , ) 0xyf x y 其它且有边缘概率密度 长沙理工大学备课纸 概率论与数理统计第 11 页 共 19 页11( )( , )Yfyf x y dx22121211110yydxyy 其它当10 时,121211012( )()() ()zx Zfzxzxedx 121211012()() ()zzexzxdx 121212111
7、1012(1)() ()zxztzettdt 令121211212(,) () ()zze 1212112()zze 综上所述，Z=X+Y 的概率密度为12121120( )()0 0zZzezfzz 这正是参数为12,的分布的概率密度。(2)商的分布12(, )( , ),( )( , )( , )zDDXX Yf x yZY XZZY F zP Zzf x y dxdyf x y dxdy设的联合概率密度为又现求的概率密度的分布函数为10( , )( , )yzDf x y dxdyf x y dxdy 而, ,( , )(0),yzxz yf x y dxuyy对于固定的积分作换元( ,
8、 )(, )yzzf x y dxyf yu y du 得长沙理工大学备课纸 概率论与数理统计第 17 页 共 19 页17100( , )(, )(, )zDzf x y dxdyyf yu y dudyyf yu y dydu 于是20:( , )(, ) yz Df x y dxdyyf yu y dudy 类似地可得0(, )zyf yu y dydu 12:( )( , )( , )z DDF zf x y dxdyf x y dxdy故有00(, )(, )zyf yu y dyyf yu y dy du |(, )zy f yu y dy du :XZY由概率密度定义可得的概率密
9、度为( )|(, )Zfzy f yz y dy:XY当与相互独立时有( )|()( )zXYfzy fyz fy dy( )( ).XYfxfyXY其中和分别为和的概率密度23:,020( )( )0000:.xyXYXYexeyfxfyxy XZY例设和相互独立它们的概率密度分别为求的概率密度:( )|()( )ZXYZfzy fyz fy dy解的概率密度为22020 ( )2(2)yzy Zxfzyeedyz当时0, ( )0Zxfz当时220(2)( ) 0 0ZxXzZfzYx 所以的概率密度为(3)max(, )min(, )MX YNX Y及的分布(, )( , ),X YF
10、x yMN设的分布函数为现在求与的分布函数( )max(, ),( , )MFzP MzPX YzP Xz YzF z z长沙理工大学备课纸 概率论与数理统计第 18 页 共 19 页18 ( )min(, )1min(, )1,11( )( )( , ).NXYXYFzP NzPX YzPX YzP Xz YzFzFzF zzFzFzF z z ，( ),( ),.XYFx FyX Y分别为的边缘分布函数( )( )( )( )1 (1( )(1( )MXYNXYXYFzFz FzFzFzFz 当与独立时有.n上两式容易推广到个相互独立的随机变量的情形12,( )(1,2, ), iniXi
11、XXXnXFxinLL设是个相互独立的随机变量且的分布函数为12121212max(,), min(,)( )( )( )( )( )1 1( )1( )1( ) nnnMXXXnNXXXMXXXNXXXFzFz FzFzFzFzFzFz LLLL则的分布函数为12,( ),( ) ( )( )1 1( )nnn MNXXXF xFzF zFzF z L若相互独立具有相同的分布函数则有12124,(1)(2),00( )( )0 00 00,0,.xyXYLLLLLXYexeyfxfyxyLZ 例：设系统由两个相互独立的子系统和联接而成其联接方式分别为串联并联如图所示设和的寿命分别为和已知它们
12、的密度函数分别为其中试分别就以上两种联接方式求出系统的寿命的概率密度解: (1)串联情况12,min(, )LLLLZX Y当和中有一个损坏时系统就停止工作所以这时的寿命为XY和分布函数分别为1010( )( )0 00 0xyXYexeyFxFyxyZ的分布函数为()10( )1 1( )1( )0 0zZXYezFzFxFyz 长沙理工大学备课纸 概率论与数理统计第 19 页 共 19 页19Z得的概率密度为()()0( )0 0zZezfzz(2)并联情况max(, )LZX Y此时系统的寿命为)max(, )(1)(10( )0 0zzZZX YeezFzz由公式得的分布函数为()max(, )()0( )0 0zzzZZX Yeeezfzz于是得的概率密度为
