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1、1第三章 数 列3.1 数列的概念及简单表示法基础自测基础自测1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在 N N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的序号是（ ）A.B.C.D. 答案答案 C2.（2009河池模拟河池模拟）设 an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和最大（ ）A.10 B.11C.10 或 11D.12答案答案 C3.已知数列an的通项公式是 an=，那么这个数列是（ ）132 nnA.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列答案答案A4
2、.已知数列an的通项公式是 an=则 a2a3等于（ ） ，nn，nn)(22)( 13为偶数为奇数A.70B. 28C.20 D.8答案答案 C5.（20082008 北京理，北京理，6 6）已知数列an对任意的 p,qN N*满足 ap+q=ap+aq且 a2=-6,那么 a10等于 （ ）A.-165 B.-33C.-30D.-21答案答案 C例例 1 1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，； （2），；21 43 87 1615 3231（3）-1，-，-，；23 31 43 51 63（4），-1，-，-，；32 710 917 1126 13372（5）3，33，
3、333，3 333，.解解 （1）各项减去 1 后为正偶数，所以 an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，所以 an=.nn212 （3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列 1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2-1，偶数项为 2+1，所以 an=（-1）n.nn) 1(2也可写为 an=. )(3)(1为正偶数为正奇数nnnn（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第 6 项可见，分母
4、分别由奇数 7，9，11，13 组成，而分子则是 32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第 1、2 两项可改写为，-，所以 an=(-1)n+1.12112 122122 1212 nn（5）将数列各项改写为，分母都是 3，而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,39 399 3999 39999所以 an=(10n-1).31例例 2 2 已知数列的通项公式为 an=. 122nn（1）0.98 是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解解 （1）假设 0.98 是它的项，则存在正整数 n,满足=0.98，n2=0.98n2+0.98. 122nnn=7
5、时成立，0.98 是它的项.（2）an+1-an= 11) 1() 1( 2222 nnnn=0. ) 1(1) 1(12 22nnn此数列为递增数列.例例 3 3 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 an+2SnSn-1=0 (n2),a1=,求 an.21解解 当 n2 时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2， 4 分 nS111nS数列是公差为 2 的等差数列. 6 分 nS1又 S1=a1=，=2，2111 S=2+（n-1）2=2n， nS13Sn=. 8 分n21当 n2 时，an=-2SnSn-1=-2n21 ) 1(21 n=-，
6、) 1(21 nnan=. 12 分 )2() 1(21) 1(21nnnn1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），32 154 356 638 9910（2），2，8，21 29 225（3）5，55，555，5 555，55 555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，（5）1，3，7，15，31，解解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成 13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=.) 12)(12(2 nnn（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，
7、21 24 29 216 225可得通项公式 an=.22n（3）联想=10n-1,876 L个n 999则 an=(10n-1),876 L个n 555954 84 76 L个n )999(95即 an= (10n-1).95（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列 1，0，-1，0，则 an=5sin.2n（5）1=2-1，3=22-1，7=23-1，an=2n-1故所求数列的通项公式为 an=2n-1.2.已知函数 f（x）=2x-2-x，数列an满足 f（log2an）=-2n.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.4（1）解解 f（x）=2x-2-x，f（lo
8、g2an）=2-2=-2n，na2logna2log即 an-=-2n. na1a+2nan-1=0.2nan=，又 an0，an=-n.24422nn12n（2）证明证明 an0，且 an=-n,12n= nn aa1nnnn1) 1(1) 1(22=1. ) 1(1) 1(122nnnnan+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中，Sn表示前 n 项和且 2=an+1，求 an.nS解解 2=an+1,nSSn=(a+2an+1),412nSn-1=(a+2an-1+1),4121n当 n2 时，an=Sn-Sn-1=（a-a）+2（an-an-1） ，412n21n整理可得：
9、（an+an-1） （an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2，当 n=1 时，a1=1,an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列. an=2n-1 (nN N*).一、选择题一、选择题1.数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第 100 项是（ ）A.14B.12C.13 D.15答案答案 A2.数列an中，a1=1,对于所有的 n2，nN N*都有 a1a2a3an=n2，则 a3+a5等于（ ）A.B.C. D.1661 925 1625 1531答案答案 A3.数列-1,，-，的一个通项公式 an是58 715 924（ ）5A. B.12) 1(2nnn
10、1)2() 1(nnnnC. D. ) 1(21)2() 1(2nnn12)2() 1(nnnn答案答案 D4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖 块（用含 n的代数式表示）（ ）A.4nB.4n+1 C.4n-3 D.4n+8答案答案 D5.（2009咸阳模拟咸阳模拟）已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-9n，第 k 项满足 5ak8，则 k 等于（ ）A.9B.8 C.7 D.6答案答案 B6.若数列an的通项公式 an=，记 f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值，推测出
11、 f(n)为2) 1(1n（ ）A. B. C. D.nn1 13 nn 12 nn 23 nn答案答案 C二、填空题二、填空题7.（20082008沈阳模拟）沈阳模拟）数列an满足 an+1=a1=，则数列的第 2 008 项为 . , 121, 12,210,2nnnnaaaa53答案答案 548.（2009武汉武昌区调研测试武汉武昌区调研测试）数列an中,a3=2,a7=1,数列是等差数列，则 an= . 11na答案答案 21三、解答题三、解答题9.已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解解 Sn满足 log2(1+Sn)=n+1,1
12、+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2),an的通项公式为 an=).2(2),1(3nnn10.已知数列an中，a1=1,前 n 项和为 Sn，对任意的 n2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.231nS（1）求 a2、a3、a4的值；6（2）求通项公式 an.解解 （1）当 n2 时，3Sn-4,an,2-成等差数列，231nS2an=3Sn-4+2-Sn-1，an=3Sn-4（n2）.23由 a1=1,得 a2=3(1+a2)-4,a2=,a3=3-4,213211aa3=-,a4=3-4,a4=.41443
13、211a81a2=，a3=-，a4=.21 41 81（2）当 n2 时，an=3Sn-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an, 434311nnnn aSaS=-，a2，a3，an成等比数列， nn aa1 21an=a2qn-2=-，21221 n121 nan=. )2(21) 1(11 nnn11.在数列an中，a1=，an=1-(n2,nN N*)，数列an的前 n 项和为 Sn.2111na（1）求证：an+3=an;(2）求 a2 008.（1）证明证明 an+3=1-=1-=1-= 21na1111 nana11111nn aa11111=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.an+3=an.111 nn aa 111nnn aaa 111na（2）解解 由（1）知数列an的周期 T=3，a1=，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=.a2 008=.21 21 2112.已知二次函数 f(x)=x2-ax+a (xR R)同时满足：不等式 f(x)0 的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2,使得不等式 f(x1)f(x2)成立.设数列an的前 n 项
