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1、2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 1 页 共 15 页第第 15 讲讲 不等式的性质及应用不等式的性质及应用一、知识梳理一、知识梳理 1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟 练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。 2、两个实数的大小： ；baba0baba0baba0 3、不等式的基本性质 （1）对称性:abba （2）传递性: cacbba ,（3）可加性：； cbcabadbcadcba ,（4）可乘性：； ,0ab cacbcbdacdcba0, 0（5）倒数性质：11,0ab abab（
2、6）可乘方：) 1,(0nZnbabann且（7）可开方：) 1,(0nZnbabann且4、不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法。 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。难点正本难点正本 疑点清源疑点清源1、在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数 a、b 有ab0ab，ab0ab，abb，bc，则 ac，这是放缩
3、法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明 ac，选择中间量 b，在证出 ab，cb 后，就误认为能得到 ac.2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 2 页 共 15 页(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由 ab，cd，可以得出 acbd，但不能得出acbd.2、 理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件如 ab、cd 在什么条件下才能推出 acbd.(4)强化函数的性质在大小
4、比较中的重要作用，加强知识间的联系二、典型例题二、典型例题 题型一、比较大小题型一、比较大小 【例例 1】已知 a、b、c 是实数，试比较 a2b2c2与 abbcca 的大小解：方法一(作差法)a2b2c2(abbcca) (ab)2(bc)2(ca)20，12当且仅当 abc 时取等号，a2b2c2abbcca.方法二 (函数法)记 ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0 对 aR 恒成立，即 a2b2c2abbcca.【例例 2】(2012四川文 15)设 a，b 为正实数现有下列命题：若 a2b21，
5、则 ab1，不合题意，故正确中， 1，只需 abab 即可如取 a2，b 满足上式，但1b1aabab232014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 3 页 共 15 页ab 1，故错43中，a，b 为正实数，所以|1，abab且|ab|()()|1，故错ababab中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取 ab1，则必有 a2abb21，不合题意，故正确【变式变式 1】对于实数，有下列命题： 若,则; ,则; , ,a b cabacbc22acbcab若,则 ; 若,则； 0ab22aabb0cabab cacb
6、若， ,则。 其中真命题的个数是（ B ）ab11 ab00ab，A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【变式变式 2】已知，且，则下列不等式中成立的是（C ）xyz0xyz. Axyyz.B xzyz.C xyxz.D x yz y题型二、不等式性质的应用题型二、不等式性质的应用 【例例 3】设 f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围解：方法一 设 f(2)mf(1)nf(1) (m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b.于是得Error!，解得Error!， f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)
7、4， 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.方法二 由Error!，得Error!，f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 4 页 共 15 页方法三 由Error!确定的平面区域如图阴影部分，当 f(2)4a2b 过点 A时，取得最小值 4 2 5，(32，12)3212当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 432110，5f(2)10.【变式变式 1】已知14 的解集为x|xb(1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax
8、2(acb)xbc4 的解集为x|xb，所以 x11 与 x2b 是方程ax23x20 的两个实数根，b1 且 a0.由根与系数的关系，得 解得Error! abab2131(2)不等式 ax2(acb)xbc2 时，不等式(x2)(xc)2 时，不等式 ax2(acb)xbc0 的解集为x|20 的解集为_(2)解关于 x 的不等式 ax222xax (aR)解：（1） 令 f(x)ax2bxc，则 f(x)ax2bxc，结合图象，可得 ax2bxc0 的解集为x|30 时，原不等式化为x 或 x1.0) 1)(2(xax2a2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师
9、版 第 6 页 共 15 页当 a1，即 a2，原不等式等价于 x1.2a2a综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为.),2 1,(a题型四、不等式恒成立问题与存在性问题题型四、不等式恒成立问题与存在性问题 【例例 5】 当 x(1,2)时，不等式 x2mx40。11sin题型六、不等式的证明题型六、不等式的证明 1、比较法、比较法【例例 10】已知是正数，且，求证：, a bNnn , 1.11abbabannnn证明证明：恒成立。0)(1111babaabbabannnnnn【变式变式】已知.baaccbcbacbacbacba2220，求证：2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不
10、等式的性质及应用 教师版 第 11 页 共 15 页证明：证明： .10222222222 cccccbacbacbabacacbcbabacacbcba cbcacbcba.baaccbcbacbacba2222、综合法、综合法【例例 11】已知，求证：Rcba,. 9111cbacba证明：证明：bc ac cb ab ca ba bc ac cb ab ca ba3111（当且仅当时=成立）92223cba【变式变式 1】已知，求证：1,cabcabRcba3cba证明：3)(3)(2)(2222acbcabacbcabcbacba3cba【变式变式 2】已知实数求证：, 1, 1,22
11、2cbacbaabccba满足341ba证明：)(2)(2222acbcabcbacbaQ., 1, 1222cbacbaQ0acbcab又.abc, 0, 0ac11cba.112)(2)(2)(1 2222222abbabababacba（当且仅当时， =成立）02)()(2)(22 2babababa , 0 1)(43)(baba.430ba.341ba3、分析法、分析法【例例 12】已知，且abcR、+ + =1.a b c求证：3232323 3.abc2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 12 页 共 15 页【变式变式】已知0,0,2.abc
12、ab求证：22.ccabaccab4、三角函数代换法、三角函数代换法【例例 13】已知 x,y,a,b，且，求证：R1, 12222bayx1byax证明：证明：设，.sin,cosyxsin,cosba1)cos(sinsincoscosbyax5、构造法、构造法【例例 14】已知为实数，求证：, , ,a b c d.2222dcbabdac证明：证明：设，则,),(),(dcCDbaABCDABCDABCDABcos2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 13 页 共 15 页2222dcbabdac【变式变式】求证：，53 21 21 11nnnLNn
13、n, 3证明：设 , nnnnf21 21 11)(L221 121 21 21) 1(nnnnnfL0221 121 11 221 121)() 1(nnnnnnfnf所以函数单调递增, , .)(nf53 6037 61 51 41)(minnf53 21 21 11nnnL6、放缩法、放缩法【例例 15】求证： ., 2121 21111 2322NnnnnnL证：证：法一法一11 23 111 31 211) 1(1 431 32111 21122nnnnnnLLL,nnnn12) 1(1 321 21111 21122LL法二：法二： nnn121 21111 2322L【变式变式】Nnnnnnn, 2, 11 21 1112L证明：证明：2222) 1(1 )2)(1(1 ) 1(11 21 111 nnn nnn nnn nnnnnLL2014 年春高一数学周末班第 15 讲 不等式的性质及应用 教师版 第 14 页 共 15 页. 1
