弧长、扇形等与圆有关的计算

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1、私私 塾塾 国国 际际 学学 府府 学学 科科 教教 师师 讲讲 义义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期： 学学 员员 编编 号号 ： 年年 级级 ：九年级：九年级 课课 时时 数数 ：3 3学学 员员 姓姓 名名 ： 辅辅 导导 科科 目目 ：数学：数学 学学 科科 教教 师师 ：王文超：王文超课课 题题扇形和弧长面积公式授课日期及时段授课日期及时段教教 学学 目目 的的1、理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算；2、经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力。 3、通过联系和运动发展的观点，

2、渗透辩证唯物主义思想方法。重重 难难 点点1.弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。3、弧长公式、扇形面积公式的推导。4、圆锥的侧面积、全面积的计算。教教 学学 内内 容容1 1复习与引入复习与引入在此之前我们已经学习过了圆的有关知识包括：圆的认识，垂径定理，点和直线以及圆的位置关系切线定理等。 那么今天我们继续研究跟圆有关的知识弧长和扇形面积公式。 知识点知识点 1、弧长公式因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C2R，所以 1的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：， 说明：（1）在弧长公式

3、中，n 表示 1的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度”，例如，圆的半径 R10，计算 20的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知 l，n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点知识点 2、扇形的面积、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为 1的扇形面积是，由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是。又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。知识点知识点 3、弓形的面积、弓形的面积（1）弓形的定义：

4、由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长弦长弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB 的面积和 AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，知识点知识点 4、圆锥的侧面积和全面积、圆锥的侧面积和全面积圆锥可以看作是一个直角三角形饶他的一条直角边旋转一周所成的图形，如图 24.4-1；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面（如图 24.4-2），无论转到什么位

5、置，这条斜边都叫做圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫作圆锥的底面，圆锥的顶点到底面圆的距离叫做圆锥的高，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。母线半径底面高侧面图 24.4-1 图 24.4-2注意：（1）圆锥底面上任一点与顶点间的线段都是圆锥的母线，不要将母线与高混淆；（2）若圆锥的母线为 a，底面半径为 r，高为 h，则，故已知任意两个量，就可以求出另外一个量。222rha4、圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长，如图 24.4-3 所示，若圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为

6、 ，扇形的弧长lrl为，因此圆锥的侧面积。2 rS侧122r lrlg（2）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。所以2SSS.rlrr lr侧全底友情提示：圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，要注意与圆锥底面半径区分。（1）、圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，（2）、圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。（3）、圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形的面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。 常作辅助线， “l，r，h” 可以构成直角三角形直角三角形2 2题之再认识（一）牛刀小试：题之再认识（一）牛刀小试：1. 若一个扇形的圆心角是 4

7、5，面积为 2，则这个扇形的半径是（ ）A. 4 B. 2 C. 47 D. 2 2. 扇形的圆心角是 60，则扇形的面积是所在图面积的（ ）A. B. C. D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）A. 90 B. C. D.180 4. 两同心圆的圆心是 O，大圆的半径是以 OA，OB 分别交小圆于点 M， N已知大圆半径是小圆半径的 3 倍，则 扇形 OAB 的面积是扇形 OMN 的面积的（ ） A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍 5. 半圆 O 的直径为 6cm，BAC30，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D.6.3-1lrVO图

8、24.4-36 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是 3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 12，则它们的高之比为（ ）A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：（二）中考小析（二）中考小析例 1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为 2，1，AOB120，则阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D.

9、分析：分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为，所以 故答案为：B.例 2. （2004陕西）如图所示，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，连接 AC，BC，AB10 厘米，tanBAC， 求阴影部分的面积。分析：分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为 90，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。 解：解：因为 AB 为直径，所以ACB90， 在 RtABC 中，AB10， tanBAC，而 tanBAC 设 BC3k，AC4k，（k 不为 0，且为正数）由勾股定理得所以 BC6，AC8，而所以例 3. （2003.福州）如图所示，已知扇形 AOB 的圆心角为直角，正方形

10、OCDE 内接于扇形 AOB，点 C，E，D 分别 在 OA，OB 及 AB 弧上，过点 A 作 AFED 交 ED 的延长线于 F，垂足为 F，如果正方形的边长为 1，那么阴影部分 的面积为（ ）分析：分析：连接 OD，由正方形性质可知EODDOC45，在 RtOED 中，OD，因为正方形的边长为 1，所以 OEDE1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为 M，另一部分为N，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简 单，设一部分空白面积为 P， 因为BODDOC，所以所以 MP，所以答案：答案：。例 4. 如图所示，直角梯形 ABCD 中，B90，ADBC，AB2，BC7

11、，AD3，以 BC 为轴把直角梯形 ABCD 旋转一周，求所得几何体的表面积。分析：分析：将直角梯形 ABCD 绕 BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。 解：解：作 DHBC 于 H，所以 DHAB2CHBCBHBCAD734 在CDH 中，所以例 5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为 120，面积为 300平方厘米 （1）求扇形的弧长。 （2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？分析：分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径 R，扇形的弧长可由弧长公式求得。（2） 由此扇形卷成的圆锥

12、如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形 ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为 C2r，底面圆半径 r 即 CD 的长可求，圆锥的高 AD 可在 RtADC 中求得，所以可求。 解：解：（1）设扇形的半径为 R，由，得，解得 R30.所以扇形的弧长（厘米）。 （2）如图所示，在等腰三角形 ABC 中，ABACR30，BC2r，底面圆周长 C2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以在 RtADC 中，高 AD所以轴截面面积（平方厘米）（三）相关练习及变式训练：（三）相关练习及变式训练：1 如图，扇形 AOB 的圆心角为 60，半径为 6cm，C，D 分别是的三等分点，

13、则阴影部分的面积是 。2 如图正方形的边长为 2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以 2 为半径画弧，则阴影部分面积为 。3、如图，圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面爬到过母线 AB 的轴截面上另一母线 AC 上，问它爬行的最短路线是多少？4 如图，有一块含30的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3AB.(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；(2)若把含30的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，ABCAO ABCDAx Ay x A斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A，试求图中阴影部分的面积(结果保留).5 如图，已知在O 中，AB=4，AC 是O 的直径，ACBD 于 F，A=303（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形 OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径3 3中考链接中考链接河南省历年中考题（2010 年河南省）ABCDOF第 8 题图（2011 年河南省）（2013 年河南省）（2009 年）（2010 年）11.母线长为 3，底面圆的直径为 2 的圆锥的侧面积为_.（2012 年）（2013 年）4 4强化训练强化训练弧长和扇形的面积弧长和扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积