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1、 第第 一一 章章 函函 数数习习 题题 1.11用区间表示下列点集： (1) ； (2) ； 0x x 45x x(3) ； (4) 10x x2560x xx解解 (1) 由于实数全体为，因此),(0(,0)(0,)x x U(2) 由，有，因此54 x91x45( 1,9)x x (3) 由，有或，因此01 x1x1x10(, 1)( 1,)x x U(4) 由，有，因此0652 xx32x 2560( 3, 2)x xx 2求下列函数的定义域：(1) ； (2) ；211yxx2231arcsin12ln()2xxxy x (3) , 1 1, 1xxyxx解解 (1) 要使函数有定义
2、, 必须，即，所以函数的定义 0102xx 1,0)(0,1x I域为 1,0)(0,1x I(2) 使得函数有意义的数集满足以下不等式组：，220102 112 3112xxxxx 解之，得，121 2 1 2 113xxxx 即 ，11 32 112xx 所以函数的定义域为1 11,13 22U(3) 分段函数的定义域为各段函数定义域的并，所以函数的定义域为 1,) 3设，求下列函数的定义域：1, 01( )2, 12xf xx(1) ； (2) (3)f x(2 )fx解解 函数的定义域为，所以( )f x02x(1) 的定义域为，即(3)f x032x31x (2) 的定义域为，即(2
3、 )fx022x01x4求下列函数的值：(1) ，求，其中为常数且；1( )2f xx()( )(2),(2),f xhf xffhhh0, 4h (2) ，求，其中为常数1, 1( )23, 1xxf xxx(0),(1.5),(1)fffhh解解 (1) 当时，；2x 11(2)224f当时， ；2xh11(2)224fhhh11 ()( )122 (2)(2)f xhf xxhx hhxhx(2) 当时，；0x (0)0 11f 当时，；1.5x (1.5)2 1.536f当，即时，；11xh 0h (1)2fhh当，即时，11xh 0h (1)25fhh5下列各题的两个函数是否相同?
4、为什么? (1) 与； (2) 与；yxyx1 cos2yx2cosyx(3) 与； (4) 与343yxx31yx x1y 22cossinyxx解解 (1) 不相同，因为对应法则不同，所以不是同一函数 (2) 不相同，因为，21 cos22cos2 cosyxxx它们对应法则不同，所以不是同一函数(3) 相同，因为和的定义域都是一切实数，且对应法则相343yxx31yx x同， 所以是相同函数(4) 相同，因为对于任意，都有，所以是相同函数),(x22cossin1xx6判断下列函数的单调性：(1) ； (2) 21yx lnyxx解解 (1) 因为在上是减函数，而在上是增函数，所以2yx
5、(,0)(0,)在上是增函数，而在上是减函数21yx (,0)(0,)(2) 因为函数的定义域为，任取，且( )lnyf xxx(0,)12,(0,)x x ，则21xx 121122()()lnlnf xf xxxxx，1 12 2ln0xxxx即，故在上是单增函数12()()f xf xlnyxx(0,)7证明函数在其定义域内是有界的21( )25f xxx证证 因为，所以2225(1)44xxx，2110254xx故函数在其定义域内是有界的21( )25f xxx 8下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(1) ； (2) ；233yxx(1)(1)yx xx(
6、3) ； (4) sincos1yxx2xxaay解解 (1) ，其定义域为，是对称区间，又因为23( )3yf xxx(,) ，2323()3()()3fxxxxx ，且，()( )fxf x()( )fxf x 所以既非偶函数又非奇函数( )f x(2) ，其定义域为，是对称区间，因为( )(1)(1)yf xx xx(,) ()() 1() 1fxxxx ，(1)(1)( )x xxf x 所以为奇函数( )f x(3) ，其定义域为，是对称区间，因为( )sincos1yf xxx(,) ，()sin()cos() 1sincos1fxxxxx ，且，()( )fxf x()( )fx
7、f x 所以既非偶函数又非奇函数( )f x(4) ，其定义域为，是对称区间，因为( )2xxaayf x(,) ，()( )2xxaafxf x所以为偶函数( )f x9下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1) ； (2) ；cos(2)yx1 sinyx (3) ； (4) 2sinyxxcos3yx解解 (1 ) 是周期函数，周期为2 (2) 是周期函数，周期为 2 (3) 不是周期函数(4) 是周期函数，周期为310当为何值时，函数的定义域是？k2( )22xkf xkxkx(,) 解解 当时，此时函数的定义域为；0k ( )2xf x (,) 当时，只要， 即0k
8、2220kxkx，2(2 )4 20kk 也就是当时，函数的定义域为；02k(,) 故当时，函数的定义域为02k2( )22xkf xkxkx(,) 习习 题题 1.21已知，求，( )1xf xx( ( )f f x( ( ( )f f f x解解 ；11( ( )(1,)1 2211x xxf f xxxxx x( ( )111 2( ( ( )(1,)1( ( )1 32311 2x f f xxxf f f xxxxxf f xx x2已知， 求1,0( )0,01,0xf xxx 2(1)(1)f xf x，解解 ，1,10(1)0,101,10xf xxx 即 ；1,1(1)0,1
9、1,1xf xxx ，22221,10(1)0,101,10xf xxx 即 21,1(1)0,11,1xf xxx 3设，求2(21)fxx( )f x解解 令，则，于是，21tx1(1)2xt21( )(1)4f tt即 21( )(1)4f xx4设满足，求( )f x2 ( )(1)xf xfxe( )f x解解 令，则，代入原方程得1tx 1xt ，12 (1)( )tftf te即12 (1)( )xfxf xe该方程与原方程联立，解得12( )3xxeef x5下列函数是哪些函数复合而成的？(1) ； (2) ； sin2yx32arctancosxye(3) ； (4) 23(
10、1 ln)yx2sin xya解解 (1) sin ,2yuux(2) 3,arctan ,cos ,2tyuuv vw wetx(3) 32,1,lnyuuvvx (4) 2,sinuyauv vx6设，求和1,1( )0,11,1xf xxx ( )xg xe( ( )f g x( ( )g f x解解 将直接代入，有( )f x( )xg xe，( )1,1( ( )1,1,1f xexg f xexex 将直接代入，有( )xg xe( )f x1,1( ( )0,11,1xxxef g xee 即1,0( ( )0,01,0xf g xxx 7求下列函数的反函数：(1) ； (2)
11、； 1 1xyx2sin3yx(3) ； (4) ；xxxxeeyee2, 1,142 ,4xxxyxxx (5) 21(1), 012 1(2), 123xx y xx 解解 (1) 由，解出，得反函数1 1xyx1 1yxy1 1xyx(1)x (2) 由，解出，得反函数2sin3yx)22(2arcsin31yyx)22(2arcsin31xxy(3) 由，解出，得反函数xxxxeeyee11ln21yxy11ln( 1,1)21xyxx (4) 由，解出，得反函数2, 1,142 ,4xxxyxxx 2, 1, 116log, 16yyxyyyy 2, 1, 116log, 16xxyxxxx (5) 当时，的值域为，此时；当01x21(1)2yx112y21xy时，的值域为，此时12x1(2)3yx413y32xy于是，121,12 432, 13yy x yy 故反函数为121,12 432, 13xx y xx 8指出下列函数是由哪些基本初等函数复合或四则运算而成：(1) ； (2) ；arcsin4(1)xye2cosxyxe(3) ； (4) 2()1xyxtanxye解解 (1) 4,1,arcsinvyuuevx (2) 2,cos ,wyx u uv vewx(3) 2, 1xyuux(4) ,tan ,xyuuv
