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1、1课题：新课标人教课题：新课标人教 A 版必修版必修 4 4 3.1.13.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式太原市第二十一中学校太原市第二十一中学校 武智强武智强指导思想：指导思想：三角恒等变换是本章的核心内容。由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获 得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一些公式我们可以用“生活实际需要”的 方式选择其中的一个作为突破口教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使 公式的证明过程尽量简洁明了而且更具思维性、探索性，易于学生理解和掌握，同时也有利 于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力教材分析：教材分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是
2、本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等 知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、 三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用 两角差的余弦公式是三角恒等变换这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本 节课的重点，也是难点本课时的中心任务是建立两角差的余弦公式。通过简单运用，使学 生初步理解公式的结构及其功能，并建立其他和(差)角公式打好基础。学情分析：学情分析：1通常情况下，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差的 余弦公式是一个难点(但非重点)，教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式，但这样探究
3、 会显得预设太多，而生成不足，也不够自然，不利于学生思维的发展2两角和正弦余弦公式的猜想与发现也是一个难点因为学生可能不明白为什么要添 辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线3尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到教师需要在引导学生仔细观察 cos(+）=coscossinsin或cos(）=coscos+sinsin的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理教学目标：教学目标：1.掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题 2.使学生能理
4、解“观察发现观察发现-归纳猜想归纳猜想-推理论证推理论证-实践应用实践应用”这一常用的探究的步 骤；让学生在两角差余弦公式的探究过程中体会观察发现、探索研究、充分联想等数学思想 方法和思维方法，能体验到数学思维的合理性与条理性和目的性.公式的发现和证明是本节 课的重点，也是难点教学重点和难点：教学重点和难点：1、重点两角差余弦公式的发现、证明和应用 2、难点两角差余弦公式的发现、证明教学流程示意：教学流程示意：提出问题探究问题巩固应用回顾小结2教学过程：教学过程：教学教学 环节环节教师活动教师活动学生活动学生活动设计设计 意图意图提出提出 问题问题探究探究 问题问题问题 1：观察诱导公式：，我
5、们会发现：当角变成+或者+时，其正弦、余弦的三角函数值都与 角的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角变成或者+时，其正弦、余弦与、的正弦、余弦又有怎样的联系呢？1 明确探究的思路与步骤 问题 2：我们应该用怎样的思路和方法进 行探究？ 2猜想结果 问题 3：同学们第一反应这个结果可能是 什么？问题 4：对这个问题，老师也曾猜想， ,其中都是常数但最后发现都不成 立那我们该怎么办呢？学生从联系的角度与变 换的角度自然地提出接近研 究水平的问题，增强学生的 问题意识回答：把探究分为两个步骤， 一是探求表示结果；二是对 结果的正确性加以证明学生提出：sin(+)=sin+sin，cos(+)=cos
6、+cos（引导学生取特殊值进行验 证，同时分析错误的原因： 正弦、余弦函数名与角之间 并不是相乘关系，因此类比 乘法分配律在思维方法上是 错误的）引导学生以退求进，先讨论、+都是锐角的情况接近学生 认知水平 地提出问 题，切合 本节课的 主题。明确探究 的背景和 思路，条 理分析， 避免盲目 性。体验如何 用反例进 行反驳。强化学生 的猜想与 探究意识， 学会思维 受阻时如 何“拐弯”5问题 5：当、+都是锐角时，我们又该怎么办？问题 6：怎样用、的三角函数来表示 sin(+)，cos(+)?问题 7：那上面两个式子是否对任意角、都成立呢？3证明结果 问题 8：数学是严谨的，数学结论必须经 过
7、严格的逻辑证明现在初步结果已经 出来，目标和方向已经明确请大家仔 细观察上面两式的构成要素和结构特征， 看看从中会得到什么样的启发？产生怎 样的联想？或有什么新的发现？问题 9：引导学生在直角三角形或单 位圆中构造这些角进行讨论引导学生构造如下直角三角 形，并用割、补的方法得到：sin(+)=sincos+cossin，cos(+)=coscossinsin引导学生再用非锐角的特殊 角或任意角进行验证，而教 师借助事先设计的多媒体软 件，由学生提出任意角进行 验证让学生通过观察，联想到,终边与单位圆的交点分别为 A(cos,sin),B(cos,sin),同时发现的右边与向量数量积公式的 坐标
8、表示十分相近，进而联想到= 让学生感 受如何化 陌生问题 为熟悉问 题，如何 通过作辅 助线，用 “割补法” 寻找量与 量之间的 联系强化“为 什么想到” 和“怎样 想到”， 凸显数学 思维的自 然性与合 理性，并 突破思维 难点。增强学生1巩固巩固 应用应用如何证明：？题 10：时间关系，我们把两角和的余弦 公式、两角和与差的正弦公式的证明与 探究留给大家课外去完成刚才我们经 历了完整、曲折的探索过程，回顾来看， 大家有什么启发和感悟？教材为什么要先提出求 cos(-)？问题 11：两角差的余弦公式有什么特点?例 1 利用差角余弦公式求 cos15的值。例 2 已知：是第三象限角，求 cos
9、(-)的值教师小结：引导学生关注两个向量的夹角与是的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚引导学生从探究思路、数学 思想方法、所用到的数学知 识等方面进行回顾与反思学生总结公式的特点：左边 是两角差的余弦，右边同名 三角函数的积的和学生用 15=45-30，和 15=60-45两种方法求 解。 巩固练习求值：(1)cos15cos105+s in15sin105= (2)cos(+21)cos(-24)+sin(+21)sin(-24)= 学生独立完成同时在完成用数形结 合、分类 讨论的方 法解决问 题的意识， 感受数学 思维的严 谨性强化学生 的思维发 展，突出 向量的工 具价值让学生对1回顾回
10、顾 小结小结课后课后 作业作业(1)本节课所走过的路：(2)两位数学大家的名言很好地概括了本 节课的探究思路与学习感悟：G波利亚：“在你证明一个数学 定理之前，你必须猜想到这个定理；在 你搞清证明细节之前，你必须猜想出证 明的主导思想” 高斯所说：“一个人在无结果地深思 一个真理后能够用迂回的方法证明它， 并且最后找到了它的最简明而又最自然 的证法，那是极其令人高兴的”“假如 别人和我一样深刻和持续地思考数学真 理，他会作出同样的发现”衷心祝愿大 家通过数学学习变得更加聪明、更加富 有创造力1教材习题第 2，3，4 题中试根据自己 的情况选做 2 题2试自主探究公式，并加以证明 3(选做题)课本 P138 页习题 B 组第 4 题例 2 后提出，如果去掉这一条件，又该 怎么办？ 学生小结：学生小结： 引导学生从学到 了什么知识、怎么获得这些 知识和有什么感悟与体会三 方面进行小结探究的过 程与思路、 方法有一 个清晰的 认识，进 一步达到 “教思维” 的目的板书设计：板书设计：3.1.1 两角差的余弦公式1、公式探究 4、即时训练 3、典例分析 2、公式证明 5、课堂小结
