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1、德克教育 02982218459 能力和知识是不可分割、相辅相成的，不能片面地去做一方面而忽略了另一方面！第十二讲：二次函数【知识点罗列】基础、对称轴、增减性、解析式、平移、判别式韦达定理、最值及应用、函数方程不等式 【典型例题】 【例 1】 （二次函数的概念，一般形式，各项的名称，各项系数,二次函数的图像，自变量的取值范围, 二次函数图像的几个特殊点：；对称轴：；顶点：(0, )c12( ,0),(,0)xx(1,);( 1,)abcabc12 22xxbxa ）,24b aa1.若为常数，并且为二次函数，求，并求出该二次函数的一般m2222(1)23mmmmyxmxmxmm m形式及、ab
2、c2.抛物线与轴的交点为_,与轴的交点为_.2310yxxxy3.函数的图象如图所示,且，则 2(0)yaxbxc a0abc_ 1m4.二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）2yaxbxc 0abc0abc0a 0c 240bac22()acb5.二次函数的图象如图(1)(2)(3)所示,分别判断的正负.2yaxbxc42abc(1) (2) (3)6.过原点及二、三、四象限，则其顶点必在第_象限2yaxbxc7.抛物线的顶点在轴上，求.21ykxkxxk8.读材料:当抛物线的解析式中含有字母系数时,随着系数中字母取值的不同,抛物线的顶点也将发生变化.例如:由抛物线 (1)222
3、21yxmxmm有 (2)2()21yxmm抛物线的顶点坐标为,即( ,21)mm.(3)21.(4)xmym 当的值变化时,的值也随之变化.因而的值也随的值变化而变化.将(3)代入(4),得,(5)m, x yyx21yx可见,无论取何实数,抛物线顶点的纵坐标和横坐标都满足.m22221yxmxmmyx21yx解答问题:(1)在上述过程中,由(1)到(2)所用的数学方法是_.由(3),(4)得到(5)的数学方法是_.德克教育 02982218459(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线顶点的纵坐标和横坐标之间2222231yxmxmmmyx的关系式.9.为何值时,二次函数的顶点最高? m2
4、232yxmxm题 1:1.若的图象是抛物线，则 2222(3 )mmymm x_m 2.抛物线的开口向下，则 221mmymx_m 3.已知二次函数的图象过原点，则 222(4)22ykxxkk_k 4.抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是_.2222yxmxmm【例 2】(对称轴问题：（1）对称轴方程， （2）左同右异， （3）对称轴与顶点的关系)1.二次函数中,则其图象大致为( )2(0)yaxbxc a0a 0b 0c A B C D 2.已知：函数为二次函数，且对称轴在轴左侧，则,对称轴为直线_24(1)3mmymxxy_m 3.已知函数为二次函数221(2)6mmymxx(1)若
5、其对称轴在轴右侧，求； (2)若其顶点在第二象限，求ymm4.若点，在抛物线上,则它的对称轴是( )(2,5)(4,5)2yaxbxcA B C D 2bxa2bxa 5x 3x 5.若二次函数的图象过点,则它的对称轴是_.2yaxbxc(2,0),(2,0)mm6.若二次函数在轴上两交点之间的距离为，并且对称轴为直线，求这两点的坐标.x73x 7.若二次函数的图象过点,且对称轴为直线,求该二次函数与轴的另一交点.2yaxbxc( 3,0)1x x8.若二次函数的图象过点,且对称轴为直线,则该二次函数的图象必过点( )2yaxbxc( 3,7)1x A B C D (1,0)(1, 7)( 1
6、,7)(1,7)题 2:1.若函数图象过一、三、四象限，则函数的大致图象是( )yaxb22yaxbx德克教育 02982218459A B C D 2.抛物线与轴的交点为、，则该抛物线的对称轴为_.2yxpxqx(3,0)( 5,0)3.已知:二次函数的图象关于直线对称,则的值为_.2(1)232ykxkxk2x k4.抛物线的对称轴为直线_,顶点为_.2142yxx5.抛物线的对称轴在轴右侧，则的取值范围是( )22yxbxybA B C D 0b 4b 4b 0b 【例 3】(二次函数的图象与及相关式子的关系), ,a b c1.二次函数的图象如图所示，则下列关于间的关系判断正确的是(
7、)2yaxbxc, ,a b cA B C D 0ab 0bc 0abc0abc2.已知抛物线的顶点坐标为，则2yxbxc ( 1, 3) （1）； （2）， （3）；（4）；（5）._0abc_0abc_0b_0c22() _acb3.二次函数的图象如图所示,其对称轴为,有下列结论:)0(2acbxaxy1x (1);(2);(3);(4).0,0ab20ab0abc420abc其中正确结论的个数是( )A 4 B 3 C 2 D 1 4.已知二次函数的图象如图所示，有下列 5 个结论：)0(2acbxaxy ； ； ； ；0abccab024cbabc32 ， （的实数）其中正确的结论有（
8、 ）)(bammba1mA 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 5.二次函数的图象如图所示，且 ，2yaxbxc2Pabcab，2Qabcab则的大小关系为 . ,P Q题 3：1.二次函数的图象如图所示，则,.2yaxbxc_b a_c 2.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) 2yaxbxcA 点在第一象限 B 点在第二象限 (,)ac bc(,)ab abC 点在第一象限 D 点在第二象限(,)ab ac(,)abbc 3.二次函数的图象如图所示,那么这四个2yaxbxc2,4,2,abc bacab abcxyO德克教育 02982218459代数式中,值为正数的有
9、( ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 4.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为给出四个结论：2(0)yaxbxc a( 3,0)A 1x ；其中正确结论是（ ） 24bac20ab0abc5abA B C D 【例 4】(二次函数图象的画法,画二次函数图象的几个步骤) 画出下列二次函数的图象:1. 2. 22yxx22 ( 13)yxxx 【例 5】(判断可能的图象)1.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为( )yaxc2yaxcA B C D 2.函数与在同一坐标系内的大致图象是( )2yaxbxbyxA B C D 3.在同一直角坐标系中,函数和函
10、数的图象可能是( )yaxb2yaxbxA B C D4.函数可能的图象是( )221yk xxxyOxyOxyOxyO德克教育 02982218459A B C D 题 5:1. 已知:二次函数的图象如图所示,则函数的图象是( ) 2yaxbxcyaxbA B C D2.适当选取、，函数和的大致图象是( )abacyxbb 2yaxbxcA B C D 3. 函数与(为不等于的常数)在同一坐标系内的大致图象是( )2(1)yxkkyxk0A B C D 【例 6】(二次函数的增减性：抓两点（1）看清开口方向（2）画准对称轴)1.小明从右边的二次函数的图像中，观察得出了下面的五条信息： 函数的
11、2(0)yaxbxc a0a 0c 最小值为 当时，当时，。你认为其中正确的有_个。30x 0y 1202xx12yyA 2 B 3 C 4 D 5 2.已知二次函数，当随着的增大而增大时，的取值范围为( )2142yxxyxxA B C D 1x 1x 2x 42x 3.已知：二次函数 (为大于的常数)，当时的函数值；则当时的函数值22yxxaa0xm10y 2xm与的大小关系为( )A B C D 不能确定 2y020y 20y 20y 4.已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线，l1x 111( ,)P x y是抛物线上的点，是直线 上的点，且，222(,)P xy333(,)P xyl121xx 31x 则的大小关系为（ ）123,y yyA B 123yyy312yyy-32德克教育 02982218459C D 321yyy213yyy5.二次函数,当时,随的增大而减小,求的取值范围. 2yxkx1x yxk6.二次函
