[工学]数字电子技术第2章

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1、第2章 逻辑代数基础第第2章 逻辑代数基础章 逻辑代数基础2.1 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算2.2 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则2.3 复合逻辑复合逻辑2.4 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式2.5 逻辑函数的代数化简法 逻辑函数的代数化简法 2.6 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简2.7 非完全描述逻辑函数的化简非完全描述逻辑函数的化简第2章 逻辑代数基础2.1 逻辑代数的三种基本运算逻辑代数的三种基本运算2.1.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数 逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。 逻辑变量：

2、逻辑变量：一般用大写字母一般用大写字母A、B、C、表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑和逻辑1。0和和1称为逻辑常量。称为逻辑常量。这里的逻辑这里的逻辑0和和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种状态。本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种状态。第2章 逻辑代数基础逻辑函数：逻辑函数：与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。 数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、

3、低电平也可以用二值逻辑数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑1和和0来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。),( =CBAfF对于任何一个电路，若输入逻辑变量对于任何一个电路，若输入逻辑变量A、 B、 C、 的取值确定后，其输出逻辑变量的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被唯一地确定了，则可以称的值也被唯一地确定了，则可以称F是是A、 B、 C、 的逻辑函数， 并记为的逻辑函数， 并记为第2章

4、 逻辑代数基础逻辑代数：逻辑代数：数字电路分析和设计使用的数学工具在逻辑代数中数字电路分析和设计使用的数学工具在逻辑代数中与 （与 （AND ） 或 （） 或 （OR） 非 （） 非 （NOT）3种基本逻辑运算种基本逻辑运算 逻辑关系逻辑关系: 语句描述语句描述: VHDL、VerilogHDL等 逻辑表达式等 逻辑表达式: F=f(A、B、C) 表格表格: 真值表 图形符号真值表 图形符号: 逻辑符号逻辑符号相关术语：相关术语：第2章 逻辑代数基础2.1.2 三种基本运算三种基本运算1. 与运算与运算(逻辑乘逻辑乘) 逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。逻辑关系

5、：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。与逻辑实例与逻辑实例E EA AB BF F与逻辑运算真值表与逻辑运算真值表:? ?第2章 逻辑代数基础与逻辑可以用逻辑表达式表示：与逻辑可以用逻辑表达式表示：F=AB与逻辑实例与逻辑实例E EA AB BF FA B FA B F 0 0 00 0 0 0 1 00 1 0 1 0 01 0 0 1 1 11 1 1与逻辑运算真值表与逻辑运算真值表:第2章 逻辑代数基础实现与逻辑的单元电路称为实现与逻辑的单元电路称为“与门与门”，其逻辑符号如左下图所示，其中图，其逻辑符号如左下图所示，其中图(a)为国际流行符号，图为国际流行符号，图(

6、b)为为IEEE标准符号，图标准符号，图(c) 为我国常用的传统符号。右下图为为我国常用的传统符号。右下图为2 输入的二极管与门电路。输入的二极管与门电路。FA B(a)(b) ()(CADCBAF+=若则,EDCBAF+=。EDCBAF=若则第2章 逻辑代数基础运用反演规则时应注意两点：运用反演规则时应注意两点：不能破坏原式的不能破坏原式的运算顺序运算顺序先算括号里的，然后按先算括号里的，然后按“先与后或先与后或”的原则运算。 不属于的原则运算。 不属于单变量单变量上的非号应保留不变。上的非号应保留不变。,ACDCABF+=);()(CADCBAF+=若则,EDCBAF+=。EDCBAF=若

7、则cbae)d(cbaf+=试直接写出函数的反函数？试直接写出函数的反函数？第2章 逻辑代数基础3. 对偶规则 对偶规则 对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符中所有的算符“”换成换成“+”, “+”换成换成“”，常量，常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为的对偶式，记为F*。 例如：。 例如：AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF=+=+=+=*,;,);1()(),0(则若则若则若第2章 逻辑代数基础任何逻辑函数式都存在着对偶式。若原

8、等式成立，则对偶式也一定成立。即，如果任何逻辑函数式都存在着对偶式。若原等式成立，则对偶式也一定成立。即，如果F=G, 则 则F*=G*。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。 。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。 必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变， 且式中的非号也保持不变。必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变， 且式中的非号也保持不变。 前面逻辑代数基本定律和公式，都是成对出现，而且都是互为对偶的对偶式。 例如，已知前面逻辑代数基本定律和公式，都是成对出现，而且都是互为对偶的对偶式。 例如，已知A(B+C)=AB+AC则有则有A+BC=(A+B)(A+C)

9、 第2章 逻辑代数基础2.2.3 若干常用公式若干常用公式1. 合并律合并律ABAAB=+在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子(如如B和和B)，而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为，而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项相邻项。 合并律说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去互补量。 合并律说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去互补量。第2章 逻辑代数基础2. 吸收律吸收律A+AB=A 证：证：A+AB=A(1+B)=A1=A 该公式说明，在一个该公式说明，在一个“与或表达式与或表达式”中，如果某一乘积项的部分因子（如中

10、，如果某一乘积项的部分因子（如AB项中的项中的A）恰好等于另一乘积项（如）恰好等于另一乘积项（如A）的全部， 则该乘积项（）的全部， 则该乘积项（AB）是多余的。）是多余的。A+ AB = (A+ A)(A+ B)= 1 (A+ B) = A+ B证：证：A+ AB = A+ B第2章 逻辑代数基础()ABACBCABACAA BCABACABCABCABAC+=+=+=+证：证：在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补（如在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补（如AB项和项和AC项中的项中的A和和A），而这两个乘积项中的其余因子（如），而这两个乘积项中的其余因子（如B和

11、和C）都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的，可以消去。）都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的，可以消去。吸收律吸收律ABACBCABAC+=+推论：推论：CAABBCDCAAB+=+第2章 逻辑代数基础2.3 复 合 逻 辑复 合 逻 辑2.3.1 复合逻辑运算和复合门复合逻辑运算和复合门1. “与非与非”、“或非或非”、 “与或非与或非”逻辑运算 逻辑运算 “与非与非”逻辑运算是逻辑运算是“与与”运算和运算和“非非”运算的组合， 即运算的组合， 即BAF=FBFAFA&ABB与非门的逻辑符号与非门的逻辑符号第2章 逻辑代数基础或非门的逻辑符号或非门的逻辑符号(b)FBFA

12、FAABB1“或非或非”逻辑运算是逻辑运算是“或或”运算和运算和“非非”运算的组合， 即运算的组合， 即BAF+=第2章 逻辑代数基础FFBADCABCDFBADC1&“与或非与或非”逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即CDABF+=与或非门的逻辑符号与或非门的逻辑符号Class 3第2章 逻辑代数基础2. “异或异或”和和“同或同或”逻辑运算 逻辑运算 “异或异或”逻辑的含义是：当逻辑的含义是：当两个两个两个两个输入变量相异时，输出为输入变量相异时，输出为1；相同时输出为；相同时输出为0。 异或运算也称模异或运算也称模2加运算。加运算。 “异或异或”运

13、算的符号：异或逻辑的真值表及其逻辑表达式：运算的符号：异或逻辑的真值表及其逻辑表达式：BABABAF+=A BF0 0 0 1 1 0 1 10 1 1 0第2章 逻辑代数基础异或门的逻辑符号异或门的逻辑符号FBFAFAABB1第2章 逻辑代数基础“同或同或”逻辑与逻辑与“异或异或”逻辑相反，它表示当逻辑相反，它表示当两个两个输入变量相同时输出为输入变量相同时输出为1；相异时输出为；相异时输出为0。 。 “同或同或”运算的符号：运算的符号：“同或同或”逻辑的真值表及其逻辑表达式：逻辑的真值表及其逻辑表达式：A BF0 0 0 1 1 0 1 11 0 0 1ABBAF+=AB第2章 逻辑代数基

14、础同或门的逻辑符号同或门的逻辑符号FBFAFAABB第2章 逻辑代数基础“异或异或”逻辑与逻辑与“同或同或”逻辑互为反函数，即逻辑互为反函数，即同理可证明，同理可证明，“异或异或”逻辑与逻辑与“同或同或”逻辑互为对偶函数。逻辑互为对偶函数。因此，两变量的因此，两变量的“异或异或”函数和函数和“同或同或”函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。= BAABBA=AB第2章 逻辑代数基础表表 2-7 常用异或和同或运算公式常用异或和同或运算公式此外，此外， = AAAAA0(A的个数为偶数的个数为偶数) (A的个数为奇数的个数为奇数) 第2章 逻辑代数基础对于一个代

15、数系统，若仅用它所定义的一组运算符号就能解决所有的运算问题，则称这一组符号是一个完备的集合，简称对于一个代数系统，若仅用它所定义的一组运算符号就能解决所有的运算问题，则称这一组符号是一个完备的集合，简称完备集完备集。 在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的运算，。 在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的运算，n变量的所有逻辑函数都可以用变量的所有逻辑函数都可以用n个变量及一组逻辑运算符个变量及一组逻辑运算符“（与）、（与）、+（或）、（非）（或）、（非）”来构成，因此称来构成，因此称“、+、” 运算符是一组完备集。 运算符是一组完备集。 2.3.2 逻辑运算符的完备性逻辑运算符的完备性第2章 逻辑代数基础但但“与、 或、 非与、 或、 非”并不是最好的完备集并不是最好的完备集，因为它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。从反演律可以看出，有了，因为它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。从反演律可以看出，有了“与与”和和“非非”可得出可得出“或或”，有了，有了“或或”和和“非非”可得出可得出“与与”，因此，因此“与非与非”、“或非或非”、“与或非与或非”运算中的任何一种都能单独实现运算中的任何一种都能单独实现“与、或、非与、或、非”运算，这三种复合运算运算，这三种复合运算每种都是完备集每种都是完备集，而且实现函数只需