《高考数学一轮复习总教案：2.10函数的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习总教案：2.10函数的综合应用（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.10 函数的综合应用典例精析 题型一 抽象函数的计算或证明 【例 1】已知函数 f (x)对于任何实数 x，y 都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(0)0. 求证： f(x)是偶函数. 【证明】因为对于任何实数 x、y 都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)， 令 xy0，则 f(0)f(0)2f(0)f(0)，所以 2f(0)2f(0)f(0)， 因为 f(0)0，所以 f(0)1， 令 x0，yx，则 f(0x)f(0x)2f(0)f(x)， 所以 f(x)f(x)2f(x)，所以 f(x)f(x)， 故 f(x)是偶函数. 【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题
2、常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽 象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条 件满足定义的要求. 【变式训练 1】已知函数 f(x)对任意的 x，y 有 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)的定义域为 R， 请判定 f(x)的奇偶性. 【解析】取 xy0，得 f(0)0. 取 yx，得 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数. 题型二 函数与导数的综合应用来源:学.科.网 Z.X.X.K 【例 2】已知函数 f(x)x32x2ax1. (1)若函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 4，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)f(
3、x)在区间(1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围. 【解析】由题意得 g(x)f(x)3x24xa. (1)f(1)34a4，所以 a3.(2)方法一：当 g(1)a10，即 a1 时，g(x)f(x)的零点 x (1,1)；13当 g(1)7a0，即 a7时，f(x)的零点 x (1,1)，不合题意；来源:学+科+网 Z+X+X+K73当 g(1)g(1)0 时，1a7；当0) 1(, 0) 1 (, 1321, 0)34(4gga时， a1.综上所述，a ，7).4343方法二：g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于 3x24xa 在区间(1,1)上有解，也等价于直线 y
4、a 与曲线 y3x24x，x(1,1)有公共点，作图可得 a ，7).43方法三：等价于当 x(1,1)时，求值域：a3x24x3(x )2 ，7).234343【变式训练 2】二次函数 yax2bxc(a0)的图象与坐标轴交于(1,0)和(0，1)，且其顶点在第四象限，则 abc 的取值范围为 .来源:学科网 ZXXK 【解析】由已知 c1，abc0，所以 abc2a2.又02, 0aba0a1，所以 abc(2,0).题型三 化归求函数的最大值和最小值问题 【例 3】某个体经营者把开始 6 个月试销售 A、B 两种商品的逐月投资与所获得的纯利润 列成下表：投资 A 商品 (万元)12345
5、6获纯利 (万元)0.651.391.8521.84来源:学#科#网1.40投资 B 商品 (万元)123456获纯利 (万元)0.250.490.7611.261.51该经营者下月投入 12 万元经营这两种商品，但不知投入 A、B 两种商品各多少才能获得最 大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方 案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字). 【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，可以在直角坐标系中画出图象.据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系 ya(x4)22 (a0)， ybx， 把 x1，y0.65 代入得
6、a0.15，故前 6 个月所获得的纯利润关于投资 A 商品的金额 函数关系式可近似的用 y0.15(x4)22 表示， 再把 x4，y1 代入可得 b0.25，故前 6 个月所获得的纯利润关于投资 B 商品的金额 函数关系式可近似的用 y0.25x 表示， 设下个月投资 A 商品 x 万元，则投资 B 商品(12x)万元，则可获得纯利润为 y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6， 可得当 x3.2 时，y 取最大值 4.1 万元. 故下个月分别投资 A、B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元可获得最大利润 4.1 万元. 【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两
7、种投资方案，是估计思想的体现.根据表中所列 数据，把近似函数的解析式求出来，由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出 的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解.【变式训练 3】求函数 y222 xxx的值域.【解析】x0 时，y0；x0 时，y21)211(212x，所以 0y1；x0 时，y21)211(212x，所以y0.2综上，y1.2总结提高 1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼 此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合 问题应注意如下几点：(1)在解
8、题时有些函数的性质并不明显，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法；(2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清自变量的取值范围；(3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变 量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题. 2.解函数应用题的基本步骤： (1)阅读理解，审清题意.读题要逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所表达的实际背 景，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题； (2)引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为 x，函数为 y，必要时引进其他相关 辅助变量，并用 x、y 和辅助变量表示各相关量，然后再根据问题已知条件，运用已掌握的 数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为函数问 题，实现问题数学化，即建立数学模型； (3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求出结果；来源:学.科.网 Z.X.X.K (4)将所得结果转译成具体问题的解答.
