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1、第 1 页（共 3 页）2011 年硕士研究生入学考试试题考试科目代码：考试科目代码： 856 考试科目名称：考试科目名称： 高等代数 （如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）一.（40 分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。1. 设是三阶矩阵, 是三阶单位矩阵, 且.,A BE| 2A 220AABE则 ( )|AB(A) 0 (B) (C) (D) .1422. 设 . 则的根的个数为 ( ). 2123 22212223( )33324535 4435743xxxx xxxxf xxxxx xxxx ( )0f x (A) 1 (B) 2 (C) 3
2、(D) 43. 若都是 4 维列向量, 四阶行列式, . 12312, 1231| m 1223| n 则( ).12312|()| (A) . (B) . (C) . (D) .mn()mnnmmn4. 四阶对称矩阵的全体, 按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间的维数是 ( ).V(A) 4 维 (B) 16 维 (C) 8 维 (D) 10 维5. 设对两向量组和, 12,m L12,m L存在两组不全为零的和,使12,m L12,mk kkL则必有 ( ).111111()()()()0mmmmmmkkkkLL(A) 和 都线性相关.12,m L12,m L(B) 和 都线性无关.12,m
3、 L12,m L(C) 线性相关.1111,mmmmLLL(D) 线性无关.1111,mmmmLLL6. 设都是阶非零矩阵, 且, 则的秩为 ( ).,A BnABO,A B第 2 页（共 3 页）(A) 必有一个为 0 (B) 都小于. n (C) 如一个等于, 则另一个小于. (D) 都等于. nnn 7. 设是矩阵, 是矩阵, 则 ( ).Am nBn m(A) 当 时, 必有. (B) 当 时, 必有.mn| 0AB mn| 0AB (C) 当 时, 必有. (D) 当 时, 必有.nm| 0AB nm| 0AB 8. 空间四平面过同一直线的充要条件是其相应方程组(1,2,3,4)ii
4、iia xb yc zd i系数矩阵和增广矩阵的秩( ).r (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 49. 已知 是的一个标准正交基, 则向量12322 12 121 2 2( , ),( ,),( , )33 33 333 3 3eee在此基下的坐标为 ( ).( 1,0,2) (A) . (B) . (C) . (D) . (0, 2,1)( 1,0,2)(1,0, 2)( 2,0,1)10. 设为正交矩阵, 且, 为的代数余子式,()ijn nAa|1A ijAija( ,1,2, )i jnL则对, 均有 ( ),1,2,i jnL(A) . (B) . (C) . (D) .j
5、ijiaAijjiaA ijijaAijijaA 二.（20 分）(1). 证明：如果多项式不全为零，且( ), ( )f x g x那么.( ) ( )( ) ( )( ( ), ( ),u x f xv x g xf x g x( ( ), ( )1u x v x(2). 命题“如果是的重根，那么是的重根”对吗？若你( )fxm( )f x1m认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。三.（15 分）已知行列式. 求，其中是元素1331 1172 1731 41151D 12223242AAAAijA的代数余子式。ija第 3 页（共 3 页）四 （20 分）计算阶行列式.n123111000022000001 1nnnn-LLLMMMMML五.（10 分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为.(2, 1,2)六.（15 分）设数域上的 3 维空间的线性变换在基下的矩阵为PVA123, . 求线性变换在基下的矩阵。141150140 212AAA123, 七.（15 分）设 是维欧氏空间的一个正交变换，证明 的不变子空间的正nV 交补也是 的不变子空间。八.（15 分）设是维欧氏空间的一个线性变换如果关于一个标准正交基nV 的矩阵是实对称矩阵，那么是一个对称变换
