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1、中南大学拓扑学考试试卷参考答案（B）2009-2010 学年 二 学期 拓扑学 课程 48 学时，3.0 学分，闭卷，总分 100 分，占总评成绩 70 %时间:100 分钟, 专业年级：数学与应用数学 2008 级一、选择题一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内将正确答案填入题后的括号内 ,每题每题 3 分，共分，共 15 分分) 1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 二、简答题（每题二、简答题（每题 4 4 分，共分，共 2020 分）分）1、空间1 A答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为空间.1 A2、空间0T答
2、案：设是一个拓扑空间，如果中的任意两个不相同的点中必有一个点XX有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间是空间.X0T3、列紧空间 答案：设是一个拓扑空间. 如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓XX 扑空间是一个列紧空间.X 4、同胚映射答案：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和XY:fXYf都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.1:fYXf5、正则空间 答案：设是一个拓扑空间，如果中的任何一个点和任何一个不包含这个XX 点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称是正则空间.X三、判断，并给出理由（三、判断，并给出理由（2020 分，每题分，每题 5 5 分，判断分，判断 2
3、2 分，理由分，理由 3 3 分）分）1、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )1 2,TTX1 2TTX答案:理由：理由：因为(1)是的拓扑，故，从而1 2,TTX1,XT2,XT；(2)对任意的，则有且，由于1 2,XTT1 2,A BTT1,A BT2,A BT是的拓扑，故且，从而；1 2,TTX1ABT2ABT1 2ABTT(3)对任意的，则，由于是的拓扑，从而1 2TTT1 2,TTTT1 2,TTX, ,故；AAUT1TAAUT2TAAUT12TT综上有也是的拓扑1 2TTX2、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：理由：设是离散空间，是拓扑空间，
4、是连续映射，因XY:fXY为对任意，都有,由于中的任何一个子集都是开集，从而AY1)fAX（X是中的开集，所以是连续的. 1( )fA:fXY3、设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）AXdA答案: 理由：理由：设为中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，pX所以是的开子集，且有，即,从而 . pX pApI pd A( )d A4、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间( )XX 答案： 理由：理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令AX，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔cBA,A BXABX,A B离子集，所以拓扑空间是一个不连通空间.X 四
5、、证明题（共四、证明题（共 4040 分）分）1、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一. (10 分) ix2TX ix证明：证明：若极限点不唯一，不妨设,其中，由于是空1limiixy 2limiixy 12yyX2T间，故和各自的开邻域，使得. 1y2y,U VUV因，故存在，使得当时，；同理存在，使得当1limiixy 10N 1iNixU20N 时，.令,则当时，从而,2iNixV12max,NN NiNixUVUV矛盾，故的极限点唯一. ix2、设为拓扑空间，证明是空间的充分必要条件是的每一独点集都为(,)X TX1TX闭集.(10 分)证明：证明：（必要性）设，由为空间，故有
6、 y 的开领域 V，xX cyx (,)X T1T，所以，所以为开集，从而为闭集。. .st xV cVx cx x（充分性）设，由条件知,为闭集，故，,x yX xy x y cxUyU，所以为空间。 cyVxU. .,st xV yU(,)X T1T3、设是两个拓扑空间，是一个连续映射.如果是一个紧致空间，,X Y:fXYX证明是的一个紧致子集.(10 分) ()f XY证明：证明：设是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意，是A()f XYCA1( )fC中的一个开集，由于,从而有：XcCXUA111( )()( ()CCfCfCff XXUU AA所以是的开覆盖.由于是紧致空间，所以 有
7、一个有限1=( )|fCC1AAXX1A子覆盖，设为. 11 1(),()nfCfCL因为，从而，即111 11()()()nnfCfCfCCXLL1()nCCf XL是的一个子族并且覆盖，因此是的一个紧致子集. 1,nCCLA()f X()f XY4、 设为非空集合，令X为 |,CA AXC 余有限其中为有限集T试证：(1) 是一个拓扑空间；(5 分),X余有限T(2) 若为无限集，是连通空间；(5 分)X,X余有限T(3)是紧致空间。(5 分),X余有限T证明：证明：(1) 00 1212121211221212121201.212,3,XXAAAAAAAAAXC AXCCCdeMorga
8、nAAXCXCXCCAAXCCA 余有限余有限余有限余有限余有限余有限余有限由定义，. 此外，设，或，则，则其中，为有限集.根据公式，有设不失一般性，令其中为有限集，则TTTTTTT 0001 2 3XCXCX 余有限余有限由可知，为上的一个拓扑。ATT(2) 注意； 1212XCXCXCC (3) 对任意，则与分别为与的开邻域，,p qX pq XpUq qUXppq且，因此，为空间。pqUqpUX,余有限T1T设为的任何开邻域，为的任何开邻域，则，其中pUpqUq12X,pqUC UXC，均为的有限子集，并且1C2CX1212pqUUXCXCXCC IIU所以，非空间。X,余有限T2T（4）设是的任一个开覆盖，任取，则（C 为 X 的有限集） ，AX0A A0AXC再记，由是的开覆盖，故 于是1 ,.,nCxxAX,iAA. .st,iixA1,.,in是的有限子覆盖，是紧致空间. 1|0,1,., iA inAX,X余有限T
