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1、凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学论文平面向量基本定理的本质就是基本量思想平面向量基本定理的本质就是基本量思想江苏省泰州中学 杨鹤云平面向量的基本定理为将未知向量同已知“基底”建立联系提供了理论依据，也是利用向量解决几何问题所必须具备的“基石” 对向量的基本定理我们应这样来理解：(1)该定理为向量的坐标表示奠定了理论基础，当基底是、1eu r且夹角为 90，|=|=1 时，其中即为向量的坐标，2eu u r1eu r2eu u r12aeeru ru u r( , ) 由于基底的方向、模各不相同，可建立多种坐标系为解决问题开拓了新的天地(2)该定理另一层意思是可将任何一个向量在给出两个基
2、底、的条件下1eu r2eu u r进行分解因此，基底其实就是表示一个平面内的所有向量的“基本量” 解决向量问题就要善于寻找合适的基底，并将题中所有向量用基底线性表示下列通过实例说明探求用基本量表示已知向量的常用方法及其应用例 1 如图 1，已知 O 是ABC 内一点，AOB=150，BOC=90，OAauu u rr，且|=2，|=1，| |=3，试用、表示 .OBbuuu rrOCcuuu rrarbrcrarbrcr析与解：以 O 为原点，为 x 轴正方向建立坐标系. OAuu u r由三角函数定义得，A(2,0)，3 1(, )22B 33 3(,)22C 故=(2,0)，=， =，设
3、，将、 代入arbr3 1(, )22cr33 3(,)22cabrrrarbrcr建立方程组解得=-3，. 所以. 3 3 33 3cab rrr另解：作向量 的相反向量，(如图 2)过crcOC ruuuu r点分别作、平行线交、的延长线于COAuu u rOBuuu rOAuu u rOBuuu rA 、B ，则有且，OCOAOBuuuu ruuu ruuu u rOAOAuuu ruu u rOBOBuuu u ruuu r由平面几何知识得：=3，所以. 3 333 3cab rrr说明：坐标法与几何法是两种常用的探求线性表示向量的方法例 2 如图三，已知四边形 ABCD 的边 AD
4、与 BC 的中点分别为 E、F，求证：. 1()2EFABDCuuu ruuu ruuu r析与解：连结、，则，又ECuuu rEBuu u r11()()22EFECEBEDDCEAABuuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruu u ruuu r，. EDEAOuuu ruu u ru r1()2EFABDCuuu ruuu ruuu rBCAxOy(图 1)OBCA(图 2)EDCABF(图 3)凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学论文另解：取 BD 中点 O，则，1 2EOABuuu ruuu r1 2OFDCuuu ruuu r. EFEOOFuuu ruuu r1(
5、)2ABDCuuu ruuu r例 3 (1)如图四，设 P、Q 是线段 AB 的三等分点，若，试OAauu u rrOBbuuu rr用、表示向量、；arbrOPuuu rOQuuu r(2)在(1)中，当点 P、Q 三等分线段 AB 时，有，如果点 A1,A2,An-1是 AB 的 n(n3)OPOQOAOBuuu ruuu ruu u ruuu r等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论.析与解：(1)，ABOBOAbauuu ruuu ruu u rrr121 333OPOABPOAABabuuu ruu u ruu u ruu u ruuu rrr212 333OQOAAQOAABa
6、buuu ruu u ruuu ruu u ruuu rrr(2)由(1)知，1122nnOAOAOAOAOAOBuuu ruuuuu ruuu u ruuuuu u ruu u rL， kkAAnuuu u rkkkOAOAAAOAABnuuu u ruu u ruuu u ruu u ruuu r n knkkkOAOAABOAABABOBABnnnuuuuu u ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu r由+得结论 1：kn kOAOAOAOBuuu u ruuuuu u r结论 2：1211()2nnOAOAOAOAOBuuu ruuu u ruuuu
7、u ruu u ruuu rL由式得：121121()()()nnOAOAOAOAABDAABOAABnnnuuu ruuu u ruuuuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu rLL1(1)123(1)nOAnABn uu u ruuu rL1(1)2nnOAABuu u ruuu r1(1)()2nnOAOBOAuu u ruuu ruu u r(1)()2nOAOBuu u ruuu r用平面内不共线的两个向量、，可以表示出该平面内的任何一个向量，arbr这是用向量解题的基本功在处理这类问题时，除了正确利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意如下解题规律：尽可能把要用、表示的向量，arbr连同、向量在同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平arbr行四边形法则求解；要充分利用平面几何的一些定理、性质，善于发现相等向量、共线向量及相反向量，从而使所求向量与已知向量建立直接联系；要OBQ PA(图 3)凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学论文注重方程思想的应用，有时可以正难则反用所求向量表示已知向量，建立方程后，解方程即可求出未知向量
