k利用几何画板探索轨迹的教学

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1、知识就是力量1本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 利用几何画板探索轨迹的教学研究性学习一得湖北省通山县第一中学 李雪松研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专 题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。 研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践 性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载 体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。 其特点是内容强调开放性、学主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动 化。 下

2、面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与 同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。 问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：如图 1，过椭圆()的左焦点 F1作弦 AB。现在来研究焦点弦 AB 有12222 byax0ba关的问题。 轨迹轨迹 1 过原点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程。图 1 图 2 几何画板演示：拖动主动点 A 在椭圆上转动或制作点 A 在椭圆上运动的动画按钮，跟 踪点 M，得到点 M 的轨迹是一个小圆。如图 2 “怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般

3、思路，假设弦 AB 所在直线的斜率为 k，则 AB 的垂线的斜率为，列k1出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M 的坐标，最后消去参数 k 就得 到点 M 的轨迹方程。哇！好复杂。 学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？” 学生：“我在想这个轨迹是一个圆，而且是以 OF1为直径的圆，是不是有什么简 单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有知识就是力量2一个很好也很简单的方法： 因为 OMAB ，所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2，若设点 M 的坐标为(x ，y)，

4、点 F1的坐标 为(c，0)，则x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2，即。这就是所求的轨迹方程。 ”222)2()2(cycx“啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。 马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点 和点 F1 的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点 O 与 F1，过这两点作两 条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。 这当然很容易解得。 ” 教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出 动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点 的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下

5、： 轨迹轨迹 2 如图 3，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程。 ” “猜猜看，点 P 的轨迹是什么？” 不少学生已经利用几何画板演示了出来： 几何画板演示：拖动主动点 A，得到点 P 的轨迹是 一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段 OF1即半焦距。如图 4。2c“真是椭圆。 ”学生的兴趣被调动起来。 “怎样求这个小椭圆的方程？” 教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图 3 对这类问题无从下手。 教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标 为(x，y)，因此先设 P 点坐标为(x，y)。要建立点 P 的坐标(x，y)满足的方程，观察图形， 这里有四个点 A

6、(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中点 F1是定点，A、B、P 都是动点，但点 A 是主动点，引起点 P 运动的原因是由于点 A 在椭圆上运动。因此要找到点 P 与 A、B、F 这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。 ” “点 P 与 A、B 两点的坐标的关系怎样？”学生：“根据中点坐标公式得到，。 ”221xxx221yyy“如何将 A、B、P、F1这四点的坐标联系起来？” “利用直线的斜率。 ” “直线 AB 的斜率怎样表示？”“有，还有。 ” 2121 xxyykcxyk“如何得到？” 2121 xxyy “” “A、B 两点在哪？满足什么方程？” 图 4“在椭圆上。

7、满足，。 ”222 122 12bayaxb222 222 22bayaxb知识就是力量3“知道怎样求了吗？” 2121 xxyy 学生很快得到下列解法(经过整理)：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则，22bac221xxx221yyy因为点 A、B 都在椭圆上，则 ，222 122 12bayaxb222 222 22bayaxb两式相减得 ，0)()(21212 21212yyyyaxxxxb于是有 ，cxykyaxb yyxxab xxyy 222121 222121化简得 ， 此即为所求的轨迹方程。1 )2()2()2(2222abcy ccx教师：“以上解法是很

8、典型的。这里设点 A、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用 A、B 的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点 之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？” 一学生：“因为直线 AB 经过点 F1，可以设直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，与椭圆方程 联立解方程组得出 A、B 两点的坐标” 另一学生：“不必解出 A、B 的坐标，将直线 AB 的方程为 y=k(x+c)代入椭圆方程得 到的一元二次方程的两根就是点 A、B 的横坐标 x1，x2，正好可以利用韦达定理得到，将点 A、B 的横坐标都表示为直线 AB 的斜率 k 的函数，消去参221xxx221yyy

9、数 k 就行了。 ” 教师：“很好。请同学们将解法写出来。 ” 以下是学生的另一种解法(经整理)： 解法二：假设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，代入椭圆方程得 12222 byax02)(22222222222bakcaxckaxkab设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则，22222 21 2kabckaxxx)22(2)2(21 2)()( 222222212121ckabckakcxxkcxkcxkyyy=， 由得，代入 y=k(x+c)得，2222kabckb yaxbk22 )(22 cxyaxby整理得 ， 即为所求的方程。1

10、)2()2()2(2222abcy ccx学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个知识就是力量4椭圆的形状仍然十分相似 ，也不知有没有必然的联系？”学生：“与的比例正好等于，哇！我发现这两个椭圆的离心率是2)2(c2)2(abc22:ba一样的！因此它们的形状相同。 ” 教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关 系。 刚才所探索的都是弦 AB 上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？ 请大家根据这个椭圆及弦 AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。 ” 学生们立即投入到探索中。 一位学生： 轨迹轨迹 3 “在弦 A

11、B 上任意取一点 Q，跟踪点 Q，动画哇！怎么点 Q 的轨迹是这 样的？” 不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何 画板演示：在弦 AB 上任取一点 Q，跟踪点 Q，拖动主动点 A，取到如下几何图形(如图 57 所示)：图 5 图 6 图 7 “呀！这是什么图形？” “怎么会有这样的图形？” “自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。 ” “该给这个轨迹起个什么名字呢？” 学生们发出惊叹。 拖动点 Q，发现点 Q 的轨迹也发生变化。当点 Q 接近中点 P 时，点 Q 的轨迹图形接 近于中点 P 的轨迹小椭圆(如图 6)，而当点 Q 接近于点 A 或 B 时，

12、轨迹图形就接近于 大椭圆(如图 7)。 轨迹轨迹 4 “老师，我发现，如果将弦 AB 的两端 A、B 分别与椭圆长轴两个端点 A1、A2连起来，则这两条直线 A2A 与 A1B 的交点 C 好象在椭圆的准线上。 ”另一个学生叫 起来。 “老师，点 Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定 很复杂。点 C 的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。 ” 教师：“试试看吧。 ” 采取常规方法“交轨法”求解： 设直线 AA2、BA1的方程分别为 y = k1(xa)，y = k2(x+a)， 将 AA2的方程代入椭圆方程整理得,02)(222 142 13222 12bak

13、axkaxbka知识就是力量5此方程的两根是 A、A2 的横坐标 x1与 a， 故可求得 A(x1，y1)点坐标为, 图 8)2,(22 121222 1222 13bkakabbkaabkaA同理可求得 B(x2，y2)点坐标为 。)2,(22 222222 2222 23bkakabbkaabkaB由 A、F1、B 三点共线可得，即 ， 11BFAFkkcxy cxy 2211将 A、B 两点坐标代入并整理得 a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，将，代入上式得axyk1axyk2，0)()()()()()(2222

14、222axaxacbaxaxcabyacaycaa分解因式得 ，0)()(222222baxbyaaxacaxca因为直线 AA2、BA1的交点在椭圆外，所以，0222222bayaxb故 ， 即 。0)()(axacaxcacax2 即为直线 AA2、BA1的交点的轨迹方程， 而这就是椭圆的准线方程。 “同样的道理，直线 A2B 与 A1A 的交点 D 也在准线上。 ” “老师，不管 C、D 两点在左准线上怎样运动，CF1D 是一个定值。如图 9 所o90 示。 ”又一个学生发现了一个结论。同学们利 用上个问题的解决方法，很快证明了出来。教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图 9 结论出来

15、。利用几何画板，你们还能探索出什 么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。 ” 轨迹轨迹 5 “老师，如图 10 作 OAB 的重心 G，其轨迹也是一个椭圆。 ”一位学生说。(以下是学生课后提供的解答过程： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)， AB 中点为 M(x0，y0)，则 ，2102xxx2102yyy，321xxx321yyy032xx 032yy 由，222 122 12bayaxb222 222 22bayaxb知识就是力量6得，yaxb yyxxab xxyy222121 222121此即为直线 AB 的斜率 k， 图 10又 ， ， 整理得 cxycxycxyk