C题易拉罐形状和尺寸的最优设计

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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计1易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用 LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测 数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价） ，还要满足 结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材 料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和 材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径） ；模:1:2R H HR 型二，设易拉罐顶盖、底部厚

2、度是罐身的 3 倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一:1:6R H 般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍时，最优设计方案为。b:2R Hb 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同， 利用 LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，24HhRrhr 设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的 3 倍，同样利用软件 LINGO 对其进行分析，得出 ，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据4.5HhR0r 不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到

3、的压力、制造工艺、 外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料 最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和 模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型 四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项 部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为 2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，时，可2.2,0.75,3.93,6.

4、86rhRH 以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验-在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难 不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建 模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。 关键词：易拉罐 最优设计 材料体积 lingo 软件 文中符号注解 R:圆柱半径 r:圆台半径 H:圆柱高 h:圆台高 S:易拉罐表面积 V:易拉罐体积 MIN:最小化 为方便在 LINGO 软件中计算，定义： X1:在软件 LINGO 中的圆柱半径（R） X2:在软件 LINGO 中的圆柱高（H） X3:在软件 L

5、INGO 中的圆台半径（r） X4:在软件 LINGO 中的圆台高(h)第一问：取一个饮料量为 355 毫升的易拉罐，例如 355 毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型 所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明：如果数据不是你们 自己测量得到的，那么你们必须注明出处。表 1：数据测量结果 1(mm)2(mm)3(mm)4(mm)平均（mm） D1(罐盖直径)57.8458.3058.0458.6058.20 D2（罐身直径）65.7065.5665.5165.5865.60 D3（罐底直径）47.5647.6247.1847.7447.53 X1（罐盖厚度

6、）0.3140.3020.3150.3100.310易拉罐形状和尺寸的最优设计2X2（罐身厚度）0.1080.1100.1140.1100.111 X3（罐底厚度）0.3270.3200.3390.3440.333 H1（罐盖高度）10.3010.9810.429.9610.42 H2（罐身高度）101.98102.06102.36101.92102.08 H3（罐底高度）5.625.305.124.865.23 L（罐盖斜边长度）0.1930.2040.2100.2010.202 拉环长度42534248424842514250注：数据由测量可口可乐 355ml 易拉罐所得。本文测量以上数据

7、是为了在以下建模中，提供数据和验证结果。重要的是，拉环长度与易拉罐项部直 径相差约 1.53 厘米左右，正好是指头厚度。显然是使用方便设计的。第二问 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉 罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 一 问题重述 一个饮料量为 355 毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆柱体，在不考虑易拉 罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径 r 与高度 h 的比值。二 问题分析 假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小） 。在表面积为最 小时，设圆柱形的体积 V 为

8、常数，求底半径 r 与高度 h 的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最 优设计。在建立模型之前，必须考虑易拉罐的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材 料受力的情况。 三 模型假设、建立与求解 （一）易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型 1、 假设：（1）易拉罐是正圆柱体（2）易拉罐整体厚度均相同 2、 确定变量和参数：设易拉罐内半径为 R，高为 H，,厚度为 a，体积为 V，其中 r 和 h 是自变量，所用 材料的面积 S 是因变量，而 V 是固定参数，则 S 和 V 分别为： 2222SRaaRaHR H22332422aRa RaHRaHa， 2VR H2VHR设2,g R

9、 HR HV3、 模型建立： min, 0,0S r h RH ,0g R H 其中 S 是目标函数，是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求 S 的最小,0g R H 值时，r 和 h 的取值是多少4、模型求解因为按照实际测量数据可知，所以带，的项可以忽略，且，则有 ar=2a3a2VHR 22,2aVS R H RaRR求的最小值，令其导数为零，即，解得临界点为 ,S r h r ,0SR H R易拉罐形状和尺寸的最优设计3，则3 2VR3232222VVHR V 因为，则，所以当 R:H=1:2 时，是 S 最优解 344aVSRaR31202VSa5.模型结论在假设易拉罐是正

10、圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面 积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。（二）易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体（2）易拉罐顶盖、底盖厚度为 3a,其它部分厚度为 a2、确定变量和参数：设饮料内半径为 R，高为 H，体积为 V，易拉罐顶盖、 底盖厚度为 a,其它部分厚度为 b。其中 r 和 h 是自变量，所用材料的体积 S 是因变量，而 a,b,c 和 V 是固定参数。则 S 和 V 分别为： 22223SRaaRaHR H223261262a RaRaRaHa H，2VR H2VHR设

11、 212Vxx2,g R HR HV3、模型建立： min, 0,0S R H RH ,0g R H 其中 S 是目标函数，是约束条件，厚度比例与 V 是已知的，即要在体积 V 一定的条件,0g R H 下求 r 和 h 的取值是多少时体积 S 最小4、模型求解因为按照实际测量数据可知，所以带，的项可以忽略，且，则 aR=2a3a2VHR226aVSa RR求的最小值，令其导数为零，即，解得临界点为 ,S r h r ,0SR H R，则3 6VR3236626VVHR V 因为，则，因此当 H=6R 时，S 为最优解 3412aVSRaR34806VSa 观察模型（一）与模型（二） ，可见当

12、厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因 此我们假设顶与底盖厚度为 ab，壁的厚度为 a，其中 b 为比例系数，则易拉罐形状和尺寸的最优设计42222SRabaRaHR H22322422abRa bRa bHRaHa因为按照实际测量数据可知，所以带，的项可以忽略，且，则有 aR=2a3a2VHR222aVSab RR求的最小值，令其导数为零，即，解得临界点为 ,S r h r ,0SR H R，则3 2VRb3232222VVHbbR V b 因为，则，因此当 R:H=1:2b 时，S 为最优解 344aVSRabR31202VSabb5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖

13、、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面 积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时， ，观察模型（一）与模型 （二） ，可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为 ab，壁的厚度为 a，其中 b 为比例系数，则 R:H=1:2b四、模型评价 在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径 r 是高度 h 的一半时，圆柱的表面积最 小。考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁 的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于开盖） ，高度 h 是底半径 r

14、的 6 倍时，圆柱的表面积最小。 第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。所以，在不受力的情况下，假设 易拉罐是一个正圆柱体，当底半径 r 是高度 h 的一半时，模型最优。不过，本文通过实际数据发现，厂 商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于 能力有限暂时无法解释。第三问：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什 么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 一、问题描述通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形

15、。由于 实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等） ，因此，本文依照生活中 的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图 1 所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。图 1易拉罐形状和尺寸的最优设计5二、问题分析 本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小） 。由于易拉 罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个 正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用 lingo 软件，计算出模型的最优解；通过本 文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为 a，其余 部分为 b，且 a:b=3：1，体积 V=355ml 时，同样利用 lingo 软件，计算出模型的最优解。三 模型假设、建立与求解 （一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型1、假设：（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体（2）易拉