《中国海洋大学—线性代数试卷及答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中国海洋大学—线性代数试卷及答案(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2007-2008 学年学年 第第 2 学期学期 期末考试试卷期末考试试卷 线性代数课程试题(A 卷) 共共 3 页页 第第 1 页页考考试说试说明明:本课程为闭卷考试,考试时间 100 分钟。 满分为:100 分一填 空题(每题 3 分,共 15 分)1设的基为,则在基下的坐3R123111 0 ,1 ,1 001 1 2 3 123, 标为 。2已知方阵,且满足方程,则的逆矩阵 A220AAIA1A。3设为 3 阶实对称矩阵, 向量,分别对应于特征值AT5 , 2 , 11Tkk3 ,2 ,2和的特征向量, 则 。23k4若矩阵的秩,则 。123 235 36A t ( )2r A t 5
2、设为 3 阶矩阵,且,则 。,A B2,3AB12AB二单 项选择题(每题 3 分,共 15 分)1向量组线性相关的充要条件是( )。12,(2)mm L(A) 中至少有两个向量成正比;m,21L(B) 中至少有一个零向量;m,21L(C) 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示;m,21L题号一二三四五六总分得分优选专业优选专业年年级级 XXXXXX XXXXXXXX 学号学号 姓名姓名 授课教师授课教师 座号座号 -装装装-订订订-线线线-(D) 中任一部分组线性相关。m,21L2已知阶行列式,则下列表述正确的是( ) 。n0A (A)行列式主对角线上的元素全为零;A(B)的行向量组线性相
3、关;A(C)方程仅有零解; 0AX (D)的秩为。*An3设为同阶方阵,下列结论成立的有( )。,A B C(A); (B);ABBA111()ABAB(C)若,则; (D)。ACBCBC()TTTABAB4已知元非齐次线性方程,为方程对应的齐次线性方nAXb0AX AXb 程组,则有( ) 。(A)若只有零解,则有惟一解;0AX AXb(B)有惟一解的充要条件是;AXb( )r An(C)有两个不同的解,则有无穷多解;AXb0AX (D)有两个不同的解,则 的基础解系中含有两个以上向量。AXb0AX 5行列式的充要条件是( ) 。12021k k(A); (B);(C)或;(D)且。1k 3
4、k 1k 3k 1k 3k 三计算下列各题(32 分)1. 求阶行列式的值。n011 101110D L L LLLL L2设矩阵满足方程,求矩阵。B2511 1310BB3设, 求,及。123 231A301211BBA32ABTAB4求矩阵的特征值与特征向量。324 202 423A 四求向量组,1234( 1, 1,0,0) ,(1,2,1, 1) ,(0,1,1, 1) ,(1,3,2,1)TTTT 的一个极大无关组, 并将其余向量用这个极大无关组线性表示。5(2,6,4, 1)T(10 分)五设二次型,利用正交变换法将二次型化222 1231231 3( ,)22f x x xxxx
5、x xf为标准型,并写出正交矩阵。 (10 分)六设线性方程组试确定的值,使方程组有解,并求出1234123412342202132xxxxxxxxxxxxa a其全部的解。 (10 分)七 (8 分)设向量组中,前个向量线性相关,后个12,(3)nn L1n1n向量线性无关,试证明:(1)可表示为的线性组合;121,nL(2)不能不能表示为的线性组合。n11,nL2007-2008 学年 第 2 学期线性代数A 卷答案一填 空题(每题 3 分,共 15 分)1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ( 1, 1,3)T 11()2AAI3k 3t 。11623AB二选 择题(每题 3 分,共 15
6、分)1C; 2B ; 3D ; 4C ; 5D。三计算下列各题(解法不唯一,答案仅供参考,下同。 )1. 。2 。 1( 1)(1)nn83 31B3, 。224 442AB96732271AB01 78TAB4,得。所对应的特征向量2(1) (8)IA1231,8 1,所对应的特征向量。( 1,2,0) ,( 1,0,1)TT38(2,1,2)T四解:作矩阵,对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵,12345(,)A 10101011020001100000A 极大无关组为,且,。124, 31251242五解:二次型对应的矩阵为,特征多项式为,101 020 101A 2(2)IA 从而,.所对
7、应的特征向量有及。1232,0122(0,1,0)T(1,0,1)T所对应的特征向量。正交单位化后得30( 1,0,1)T,11211,(,0,) ,22TYX Y311(,0,)22TY因此, 。二次型的标准型为。12311022 ( ,)100 11022QY Y Y 22 1222fyy六解:,因此,当时,方程组有解。12120 ( , )05151 00001A b a 1a 一般解为:。122131,0,0,1,00,1,0,15555TT TXkk七证明:(1)由题设知线性无关,又线性相关,所以21,nL11,nL可表示为的线性组合。121,nL(2)反证法。若能表示为的线性组合,由(1) ,能表示为n11,nLn的线性组合,所以线性相关,矛盾。21,nL2,nL