线性代数复习与研究

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1、1线性代数复习与研究线性代数复习与研究第一讲第一讲 n n 阶行列式的定义与性质阶行列式的定义与性质一、本讲要点及目的一、本讲要点及目的 要点： 1、二、三阶行列式。 2、排列。 3、n 阶行列式的定义。 4、n 阶行列式的性质 目的：了解行列式的概念、掌握行列式的性质 二、教学过程二、教学过程复习：复习：一、二阶行列式的定义一、二阶行列式的定义 令 称为二阶行列式二阶行列式 二、三阶行列式的定义二、三阶行列式的定义 令 称为三阶行列式三阶行列式 三、全排列三、全排列 个不同元素排成一列。 可将 个不同元素按 1 进行编号，则 个不同元素的全排列可看成这 个 自然数的全排列。 个不同元素的全排

2、列共有 种。 2逆序逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排 列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。 通常取从小到大的排列为标准排列，即 1 的全排列中取 123 为标准排列。 四、逆序及逆序数四、逆序及逆序数 逆序数逆序数的定义：一个排列的逆序数的总数称为逆序数。 逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。逆序数的计算：设 为 的一个全排列，则其逆序数为 其中 为排在 前，且比 大的数的个数。 五、五、 阶行列式的定义阶行列式的定义 n n 阶行列式的阶行列式的定义 其中 是 的全排列， 是 的逆序数， 是对所有 的全

3、排列求和。 例： ， 3六六 行列式的性质行列式的性质 转置行列式的定义 设 ，称 为 的转置矩阵转置矩阵。 性质性质 1 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质性质 2 2 行列式互换两行（列），行列式变号。推论推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。 性质性质 3 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 ，等于用数 乘以该行 列式。 推论 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性质性质 4 4 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。 性质性质 5 5 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个 行列式之和。 即若 则 4性质性

4、质 6 6 把行列式某一行（列）的元素乘以数 再加到另一行（列）上，则该 行列式不变。 三、本讲小结三、本讲小结 1、二、三阶行列式。 2、排列。 3、n 阶行列式的定义。 4、n 阶行列式的性质四、第一讲问题思考四、第一讲问题思考1、计算 3 阶行列式323995212983312031五、第一讲课后参阅文献：五、第一讲课后参阅文献： 1、工程数学线性代数 ，作者：同济大学数学系，出版社：高等教育出版社。第二讲第二讲 行列式的计算行列式的计算一、本讲要点及目的一、本讲要点及目的 要点： 1、行列式的按行按列展开定理。 2、行列式的计算 目的：掌握行列式的计算 二、教学过程二、教学过程复习：复

5、习：一、行列式按行（列）展开一、行列式按行（列）展开 5定义 在 阶行列式中，把元素 所处的第 行、第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式余子式，记为 ；而称为 的代数余子式代数余子式。 引理引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零，即 ，则 。 定理定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和， 即 （此定理称为行列式按行（列）展开定理） 范德蒙德行列式范德蒙德行列式 定理的推论定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余 子式乘积之和为零，即 6结合定理及推论，得 例题：1、计算 4 阶行列式11111111

6、11111111xxxx2、计算 5 阶行列式2121321321321000000000000eeddcccbbbaaa3、计算 2n 阶行列式。abababbababa000000000000000000000000LLLLMMOMMOMMLLLLMMOMMOMMLLLL4、计算 n 阶行列式nn aaaaa000100010001000111111210LLLLLLLLLLL75、计算 n 阶行列式。12211000000000100001axaaaaxxxxnnnLLMMOMMMLLL6、计算 n 阶行列式111 111111a aa L L LLLL L7、计算 n 阶行列式naaa

7、11111111111121LLLLLLLL8、用克拉默法则解线性方程组。 114231124342321321321xxxxxxxxx三、本讲小结三、本讲小结 1、行列式的按行按列展开定理。 2、行列式的计算 四、第二讲问题思考四、第二讲问题思考1. ， _。15000050004000300020000000xxxx2.计算阶行列式nxaaaaaxaaa Daaxaaaaaxa LLLLLLLLL五、第二讲课后参阅文献：五、第二讲课后参阅文献： 1、工程数学线性代数 ，作者：同济大学数学系，出版社：高等教育出版社。第三讲第三讲 矩阵的定义及运算矩阵的定义及运算8一、本讲要点及目的一、本讲要

8、点及目的 要点： 1、矩阵的定义 2、特殊形式 3、线性方程组的系数矩阵 4、矩阵的运算 目的：了解矩阵的概念和特殊矩阵，掌握矩阵的运算 二、教学过程二、教学过程复习：复习：一、矩阵的定义一、矩阵的定义 1、称 行、 列的数表 为 矩阵矩阵 ，或简称为矩阵；表示为 或简记为 或 或 ；其中 表示 中第 行，第 列的元素。 注：注： 第一章中行列式 为按行列式的运算规则所得到的 一个数，而 矩阵是 个数的整体，不对这些数作运算。 2、设 都是 矩阵，当 9则称矩阵 与 相等，记成 。 二、特殊形式二、特殊形式 阶方阵阶方阵 ： 矩阵 n n 元行向量元行向量： 矩阵（以后又可叫做行向量），记为

9、n n 元列向量元列向量： 矩阵（以后又可叫做列向量），记为 零矩阵零矩阵 ：所有元素为 0 的矩阵，记为 对角阵对角阵 ：对角线元素为 ，其余元素为 0 的方阵，记为 单位阵单位阵 ：对角线元素为，其余元素为 0 的方阵，记为 数量矩阵数量矩阵 ：对角线元素全为数 k，其余元素为 0 的方阵，记为 kE 上上( (下下) )三角阵三角阵（反）对称矩阵（反）对称矩阵三、线性方程组的系数矩阵三、线性方程组的系数矩阵 10齐次线性方程组 与系数矩阵 也是一一对应的。 非齐次线性方程组 与 增广矩阵增广矩阵 也是一一对应的。 四、矩阵的运算四、矩阵的运算 1 1、加法、加法 设 ， 都是 矩阵，则

10、加法加法 定义为 11显然 ， (3)A+0=0, (4)A+(-A)=02 2、数乘、数乘 设 是数， 是 矩阵，则 数乘数乘 定义为 显然 ， ， 3 3、乘法、乘法 1）、设 ， ，则乘法乘法定义为 其中 ， 注注 ：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的 行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第 行，第12列元素为前一个矩阵的第 行元素与后一个矩阵的第 行元素对应相乘再相加。 一般 （即矩阵乘法不满足交换率）。 但是下列性质显然成立： ， ， ， 2 2）、几个运算结果：）、几个运算结果： 1 2 3 若 为 矩阵， 是 阶单位阵，则 ；若

11、 是 阶单位 阵，则 。 4 线性变换的矩阵表示： 设， 13， ， ， 则 5 线性方程组的矩阵表示： ， ， ， 则 矩阵的 幂幂： ， ， ， 。 4 4、转置、转置 设 ，记 则称 是 的转置矩阵转置矩阵。 显然， 14 ， ， ， 对称矩阵的定义：若矩阵 满足 （即 ），则称 是对称阵。对称阵。例题：1设，,则_。121122111A 123124311B 32ABB2、 10011001143、设，则_。 111020101A111123102B ()AB4、设，则_。 011213112A1)(2xxxf)(Af三、本讲小结三、本讲小结1、矩阵的定义 2、特殊形式 3、线性方程组

12、的系数矩阵 4、矩阵的运算 四、第三讲问题思考四、第三讲问题思考1.已知，求11 11A3A2.设=，求。A 321011330 BAAB2B3. 设为四阶行列式，且，则（ ）A2AAA. . .A4B52C52D84.证明：如果 A 与 B 都是 n 阶反对称矩阵，那么 ABBA 也是反对称矩阵。15五、第三讲课后参阅文献五、第三讲课后参阅文献1、工程数学线性代数 ，作者：同济大学数学系，出版社：高等教育出版社。第四讲、逆矩阵第四讲、逆矩阵一、本讲要点及目的一、本讲要点及目的 要点： 1、方阵的行列式 2、逆矩阵 目的：了解方阵乘积的行列式、理解逆矩阵的概念、掌握逆矩阵性质，掌握矩阵可逆 的

13、充分必要条件、理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 二、教学过程二、教学过程 复习：复习：一、方阵的行列式一、方阵的行列式 1、A 为 阶方阵，其元素构成的 阶行列式称为方阵的行列式方阵的行列式，记为 或。 显然： ， ， 。 2 2、设 记 ， 其中 是 的代数余子式， 称为 的伴随阵， 。 16二、逆矩阵二、逆矩阵1、设 A 是 n 级方阵,E 是 n 级单位矩阵,如果存在矩阵 B，使得AB=BA=E,则称矩阵为可逆矩阵,否则称矩阵为不可逆矩阵。AAA 的逆矩阵是唯一的，称为 A 的逆矩阵,记为 A-1.2、基本性质1）由定义可见,如果 B 是 A 的逆,那么,A 也是 B 的逆,即

14、有公式 1 (A-1)-1=A.2）设 k 0,A 可逆,由于,故有1111()()()()kA k Ak AkAE公式 2 (kA)-1=kA-13）设 A 可逆,由于故有1111()(),()(),A AA AEAAAAE 公式 3 11()()AA4）公式 4 设和可逆,那么可逆,且.ABAB111()ABB A3、伴随矩阵1） 设,Aij是 aij的代数余子式,把nnnnnnaaaaaaaaaALLLLLLL212222111211nnnnnnAAAAAAAAAALLLLLLL212221212111称为的伴随矩阵。A2）性质 *AAA AA E3） 如果,則 A 可逆,且0A 1*1

15、AAA3）说明逆矩阵与伴随矩阵有紧密的联系,利用它便可求出一些矩17阵的逆矩阵.4、可逆矩阵的充分必要条件定理 1 设 A 是 n 级方阵，则 A 可逆当且仅当。0A 定理 2 设 A 是 n 级方阵，则 A 可逆当且仅当存在矩阵 B，使得 AB=E或 BA=E。由于故有0ArA（A）=n的行（列）向量线性无关，推论 1 设 A 是 n 级方阵，则 A 可逆当且仅当秩（A）=n.推论 2 设 A 是 n 级方阵，则 A 可逆当且仅当其行（列）向量线性无关。定理 2 设 P，Q 为可逆矩阵，则秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ） 。例题：1. 为 阶矩阵，则=（ ） 。A30.5A AA5)2(12、设 A、B 均是 3 阶矩阵，且=2，B=-2，则AB-1=_。213、设 A、B 均