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1、作作业业讲解讲解(10)作讲解作讲解()7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率叫奈奎斯特率，( ) ( )1 cos(2000)sin(4000)a x ttt 试确定下列各信号的奈奎斯特率。sin(4000)( ) ( )tb x tt 2sin(4000)( ) ( )tc x tt ( )400028000解：当所以奈奎斯特率( )400028000( )()()04000MNMawwwb X jwX jww当，所以奈奎斯特率是一矩形脉冲，且当且仅当1400028000MNMwww即，所以奈奎斯特率( )()()08000c X jwX jww是两个矩形脉冲的卷积，当且仅当，8
2、000216000MNMwww即=，所以奈奎斯特率=在图所示系统中有两个时间数和相乘其乘积1211227.6( )( )( )( ),( ),x tx tw tx tw x tw在图所示系统中，有两个时间函数和相乘，其乘积由一冲激串采样，带限于带限于即1122()0,()0,XjwwwXjwww22(),( )( )jTw tw t试求最大的采样间隔使得通过某一理想低通滤波器能从中恢复出来( )pw t 中恢复出来。12121( )( )( )()()()2w tx t x tW jwXjwXjw解：由于11222 ()0,()0,2Xjwww Xjwww根据题意所当12 122()0,NW
3、jwwwwTwww所以当7.23()X jw图是一个用交替符号冲激串来采样的信号系统输入信号的傅里叶变换如图所示( ),( )( )2p max ty tw对于画出和的傅里叶变换；( ),( )( )2mp mbx tx tw对于确定一个能从中恢复的系统；( ),( )( )2mmcy tx tw对于确定一个能从中恢复的系统；( )( )( )( )mpdx tx ty t确定既能从又能从恢复的最大 值。11( )( )(2),()()kkap ttkP jwwk解： 令则1111( )( )()()()()=1-(-1) ()jwkkp tp tp tP jwP jweP jwwk 11()
4、()()1-(-1) ( ()221k p kXjwX jwP jwX j wk 1( (21)kX j wkP( )b( )c( )mdaw从(中可得当时不会出现频谱混叠现象，max( )mw所以mw9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 The Laplace TransformThe Laplace Transform 复指数信号是一切复指数信号是一切LTI系系统的统的特特征函数。如征函数。如果果ste系特系特果果 LTI系统的单位冲激响应为，则系统对产 生的响应是系统的单位冲激响应为，则系统对产 生的响应是:e ( )h tste( )( )sty tH s e( )( )stH sh t
5、edt，其中，其中 显然当时，就是连续时间傅里叶变换。显然当时，就是连续时间傅里叶变换。sj一.双边拉氏变换的定义：一.双边拉氏变换的定义：( )( )stXtdt( )( )stX sx t edt 称为称为的的双边拉氏变换双边拉氏变换其中其中( )x tsj6称为称为的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中其中。( )x tsj9.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变若若，则有则有: :0sj()( )j tXjx t edt若若，则有则有: :0j()( )Xjx t edt 这就是的傅里叶变换。这就是的傅里叶变换。( )x t表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时
6、间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在或是在或是在轴上的特轴上的特( )()在在或是在或是在轴上的特轴上的特例。即：例。即：0j( )( ) ( )tj ttj tX sx t eedtx t eedt由于由于( )()sjX sX j( )( ) ( )X sx t eedtx t eedt ( )tx t e F由于由于 ( )x t e?F所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏，的拉氏( )x t7变换就是的傅里叶变换。变换就是的傅里叶变换。( )tx t e9.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变( )( )atx teu t例例1.()001
7、( )atsts a tX seedtedtsa00sa在时，积分收敛。在时，积分收敛。Re sa 当时，的傅里叶变换存在当时，的傅里叶变换存在( )x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)aj显然，在时，拉氏变换收敛的区域为显然，在时，拉氏变换收敛的区域为0a8，包括了（即轴）。，包括了（即轴）。Re sa 0j9.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变当当时时t当当时时，( )( )( )atx teu tu t0a 1( )u t可知可知Re 0s ( )u ts可知可知Re 0s 例例2( )()attt例例2.( )()atx teut 00()100()1(
8、 )atsts a tX se e dtedts a Re sa与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。99.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变 由以上例子由以上例子，可以看出可以看出:由以上例子由以上例子，可以看出可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问 题题并非任何信号的拉氏变换都存在并非任何信号的拉氏变换都存在也也题题。并非任何信号的拉氏变换都存在并非任何信号的拉氏变换都存在，也也 不是不是 s 平面上的任何复数都能使拉氏变换收平面上的任何复数都能使拉氏变换收 敛。敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些
9、复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合的集合2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合的集合 ，称为，称为拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 （ROC，Region of Convergence）拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 对拉对拉of Convergence）。拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 对拉对拉 氏变换是非常重要的概念。氏变换是非常重要的概念。109.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变 3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变不同的信号可能会有完全相同的拉氏变3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变不同的信号可能会有完全相同的拉氏变
10、 换表达式，只是它们的收敛域不同。换表达式，只是它们的收敛域不同。 4 拉氏变换的表达式只有拉氏变换的表达式只有连同相应的收敛连同相应的收敛 4. 拉氏变换的表达式只有拉氏变换的表达式只有连同相应的收敛连同相应的收敛 域域，才能和信号建立一一对应的关系。，才能和信号建立一一对应的关系。 5. 如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含轴，则有包含轴，则有j()( )X jX()( )s jX jX s119.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变二二 拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图及零极点图：j二二. 拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图及零极点图：2( )( )( )ttx te
11、 u te u t例例3.j2( )tsttstX se edteedt100( ) se edteedt1t1( ),1te u tsRe 1sj21( ),2teu tsRe 2s 2122s 9.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变j1123s21123( ),1232sX sssssRe 1s 21可见可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部可见可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部 分。分。ROC总是以平行于轴的直线作为边界的，总是以平行于轴的直线作为边界的，j ROC的边界总是与的分母的根相对
12、应的。的边界总是与的分母的根相对应的。( )X s139.1 拉普拉斯变拉普拉斯变换换拉普拉斯变拉普拉斯变()is 若是有理函数若是有理函数( )X s()( )( )( )()i iisN sX sMD ss 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点分母多项式的根称为分母多项式的根称为( )()i i 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根称为分母多项式的根称为 极点极点。 将将的全部零点极点表在的全部零点极点表在上上就构就构 将将的全部零点的全部零点和和极点表极点表示示在在S平面平面上上，就构就构 成了成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一。零极点图及
13、其收敛域可以表示一 个有个有最多与真实的最多与真实的相差个常数相差个常数( )X( )X s个有个有理，理，最多与真实的最多与真实的相差相差一一个常数个常数因 子。因 子。( )X s( )X s M14作业：作业： 9.21(a, b, i, j)9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 The Region of Convergence for Laplace TransformsThe Region of Convergence for Laplace Transforms 拉普拉斯变换必须与收敛域拉普拉斯变换必须与收敛域（ROC）结合才能唯结合才能唯拉普拉斯变换必须与收敛域拉普拉斯变换
14、必须与收敛域（ROC）结合才能唯结合才能唯 一确定对应的时域信号。一确定对应的时域信号。熟悉关拉普拉变熟悉关拉普拉变的我能根据的我能根据 熟悉关熟悉关于于拉普拉拉普拉斯斯变变换换ROC的的性质使性质使我我们们能根据能根据 X(s)的形式和的形式和x(t)的时域特性迅速判断其收敛域。的时域特性迅速判断其收敛域。 ROC的性质可归纳如下：的性质可归纳如下：是是上行上行轴的带域轴的带域 1. ROC是是 s 平面平面上上平平行行于于j轴的带轴的带形区形区域域。 2. 有理拉普拉斯变换在其有理拉普拉斯变换在其ROC内无任何极点内无任何极点。有理拉普拉斯变换在其有理拉普拉斯变换在其内无任何极点内无任何极点。 3. 绝对可积的时限信号其绝对可积的时限信号其ROC是整个是整个 s 平面。平面。159.2 拉氏变拉氏变换的换的收收敛敛域域拉氏变收域拉氏变收域例例1,( )ate0tT 例例1.,( )0,x t 其它其它0tT t()()001( )1TTatsts a ts a TX seedtedtesa有极点有极点sa ( )X s考查零点，令考查零点，令()1s a Te 2/sajk T得得（k为整数为整数）2/sajk T 得得（k为整数为整数）因此在也有一阶零点，因此在也有一阶零点，sa ( )X s16由于零极点相抵消，致使在整个由于零极点相抵消，致使在整个s平面上无极点。平面
