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1、高中数学竞赛大纲（修订稿）高中数学竞赛大纲（修订稿）在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续 几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为 之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、 健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定数学 竞赛大纲以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。教 学大纲在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化 学好数学的积极性”。具体作法是：“对
2、学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等 多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养.，着重培养学生的运算 能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、 抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 教学大纲中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样 的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。 而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容 必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而
3、精” 的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学数学教学大纲中所规定的 教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和 微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的 平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的边形的集合中，正
4、边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求次迭代，简单的函数方程。 个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的
5、排列与组合，简单的组合恒等式。 一元 n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧 几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及 其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。 截面，会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它 抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。
