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1、2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）A 题：中国人口增长预测题：中国人口增长预测中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录 1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的
2、实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。附录 1 国家人口发展战略研究报告附录 2 人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点模型的建立必须考虑我国近年来人口发展的总趋势。例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素。以下几点供阅卷参考。 1分析数据（据此做出合理的假设）： 对于一个地区或一类人群而言： 人口的自然增长率 出生率死亡率；而出生率
3、 育龄妇女的生育率 育龄妇女在总人口中所占的比例。 利用附录 2 中数据对上述相关参数进行分析，可以看到： (1) 生育率：城镇和农村育龄妇女的生育率有下降趋势，但农村总体数据偏高，因此有必要将城镇人口和农村人口（或比例）分离开来考虑； (2) 出生人口的男女性别比：通常应当是 105 : 100 左右，但数据分析表明远超过了这个比例，且农村出生人口的性别比例又超过城市。这影响到未来育龄妇女在总人口中的比例以及出生率。因此有必要将男女性别比的因素考虑进去。 (3) 死亡率：不同年龄段的死亡率都是不同的：03 岁孩子死亡率较高，350 岁死亡率较低的幼青壮年期，50 岁以上的人死亡率不断升高。可
4、以把 350 岁年龄段人口的死亡率看成是接近于零。 (4) 人口的年龄分布：从某一年(比如 2005 年)分年龄段的人口数量分析，并结合死亡率的观察，可以看出在过去 50 年的人口出生的变化情况，也可以看出中国人口未来的老龄化趋向。 (5) 在中国人口统计年鉴 （附录 2）中的人口数据都是按市、镇和乡（或县）给出的。但按“报告”（附录 1） ，市和镇放在一起，称为“城 镇”，而乡单列，称为“乡村”或“农村”。本题“城镇化”也可以这样理解。这时就需要对“城镇”的每个要用到数据进行加工，即按附录 2 最右边给出的每年人 口的抽样调查数据进行换算。 (6) 附录 2 中给出的数据都是抽样数据，因此都
5、是相对的。如需要用到每年各类人口的总数据，可在政府网站上查到。比如，在政府公布的中国人口现状 http:/ 中就有 2005 年的详细数据。从中也可以看出，附录 2 中给出的2005 年人口数据就是大约 1的抽样调查数据。从网上及文献中还可以查到更多数据，这里不一一列出。 (7) 在本题的数据说明中曾指出“个别数据有异常，原文如此，可酌情处理。 ”实际上，这些异常数据在个别年份才会出现，如果把他们从总体上进行 拟合，对整个模型的建立应该是没有很大影响的。而且一些异常通过查阅其他资料也可得到纠正。附录 2 中最大的异常是关于 2003 年育龄妇女的生育率数据，这 里按原年鉴中说法以千分比计，实际
6、应该是百分比，相差十倍（在该附录最后几行给出的总生育率中已把它们恢复正常） 。正如一开始及下面所强调的，本题的 重点是要根据我国近年来人口发展的总趋势和特点来建立模型，因此，必须从总体上来把握数据。 (8) 如果有学生考虑人口分布的地区和产业等差别，也是可以的，但需要自己补充相关数据。 2建立模型 (1) 基本假设：从中国人口增长的特点出发，可以提出如下假设作为建立模型的依据：老龄化进程加速；农村育龄妇女的生育率明显高于城镇；出生人口的男女性别比持续升高；农村人口不断城镇化。根据这些假设，区分模型中的状态变量和参数。 (2) 状态变量的设置：根据上述假设和数据分析，可以把城镇人口与农村人口，及
7、男女性别区分开来。另一方面，注意到育龄妇女的生育率是决定人口增长的主要因素，可以对人口的年龄分布按不同年龄段进行简化，以减少状态变量。 (3) 老龄化的影响：数据分析表明，在每一类人(比如城镇妇女)中，老年人口在该类总人口中的比例逐年上升，而青壮年和幼年人口比例逐年下降。可以通过对人口矩阵的迭代，或用其他模型方法，找出他们上升或下降的一般规律。 (4) 农村人口以一定规律转化为城镇人口。 (5) 人口增长有迟滞效应。在附录 1 中提到“由于 20 世纪 80 年代至90 年代第三次出生人口高峰的影响”，导致在 2005-2020 年出生人口 数量会“出现一个小高峰”，这就是迟滞效应。如果在模型
8、中适当引进迟滞项，就可预测到这种“小高峰”现象。当然，此时的初值应当是一个近几十年来的人口变 化函数。这个函数可以从网上搜索到，也可以用 1(4)提示的方法找出。当然，这可能有一定难度，不一定作为必须要考虑的要求。如果有同学考虑到这种迟滞效 应，应该说是有创意的。 (6) 由上述 (1) 至 (4)，即可建立起关于中国人口增长的数学模型。它可以是微分方程组或差分方程组的初值问题。如果还考虑到（5） ，则会是迟滞微分方程组。方程组中出现的各个参数和用到的初值可以通过附录 2 中给出的数据，并参考上面 1（6）的说明，来确定。 3模型的求解和预测 用适当的数值方法求解所得的数学模型，即可得到今后几十年的预测结果。可以把这些结果与附录 1 (国家人口发展战略研究报告) 或其他文献中的结果进行对照分析。如出现较大差异，则应找出原因，予以改进，或提出自己的看法。 4关于文献与模型的“自我评价” (1) 本问题提供的文献(附录 1)是要求重点阅读的。此外，还应列出自己查阅过并引用的比较可靠和权威的文献，包括论文、著作和数据，都要注明出处。如果是网上的，则应列出网址。 (2) 在评阅学生对自己模型的优点与不足的评价时，一定要注意是否实事求是。
