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1、第四部分第四部分 数列数列一、等差数列常见结论一、等差数列常见结论1，判断给定的数列是等差数列的方法na（1）定义法：是常数数列是等差数列；1nnaad*()nNna（2）通项公式法：数列是等差数列；( ,)naknb k b是常数na（3）前 n 项和法：数列的前 n 项和na数列是等差数列；222( ,0)nAnBn A BBS是常数, Ana（4）等差中项法：数列是等差数列；* 212()nnnnNaaana2，等差数列的通项公式的推广和公差的公式：；*() ( ,)nmaanm d n mN*( ,)nmaadn mNnmnm 3，若 A 是 a 与 b 的等差中项2Aab 4，若数列
2、，都是等差数列且项数相同，则na nb都是等差数列；,nnnnnnnkbababpaqb5，等差数列中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；na6，等差数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；na7，若数列是等差数列，且项数满足，则na*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpq，反之也成立；当时，即的等mnpqaaaapq2mnpaaapmnaaa是和差中项； 8，若数列是等差数列的充要条件是前 n 项和公式，是 n 的二次函数或一na( )nSf n次函数且不含常数项，即；222( ,0)nAnBn A BBS是常数, A9，若数列的前 n 项和
3、，则数列从第二na2( ,)nAnBnC A Bs是常数, C 0na项起是等差数列；10，若数列是等差数列，前 n 项和为，则也是等差数列，其首项和的nanSnS nna首项相同，公差是公差的；na1 211，若数列，都是等差数列，其前 n 项和分别为，则；na nb,nnS T2121nnnnaS bT12，若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为；若四个数成等差, ,xd x xd数列，则通常可设这四个数分别为；3 ,3xd xd xd xd13，等差数列的前 n 项和为，且分别为数列的前 m 项,nanS234,mmmmSSSSna2m 项,3m 项,4m 项,的和，则成等差数列（
4、等差数232,mmmmmSSSSS列的片段和性质） ； 14，等差数列中，若项数 n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为，naSS奇偶，一、等差和等比数列部分一、等差和等比数列部分则；若项数 n 为偶数，；1 1Sn Sn奇偶221nnaS Sa奇偶15，在等差数列中，若公差，则等差数列为递增数列；若公差，则na0d na0d 等差数列为递减数列；若公差，则等差数列为常数列；na0d na16，有关等差数列的前 n 项和为的最值问题：nanS（1）何时存在最大值和最小值 若，则前 n 项和为存在最大值10,0adnS 若，则前 n 项和为存在最小值10,0adnS（2）如何求最值 方法一：
5、（任何数列都通用）通过解出 n 可求前 n 项和为的最大值；100nnaa nS通过解出 n 可求前 n 项和为的最小值； 100nnaa nS 方法二：利用等差数列前 n 项和的表达式为关于 n 的二次函数且常数项为 0（若nS为一次函数，数列为常数列，则前 n 项和不存在最值）,利用二次函数求最值的nS方法进行求解；有以下三种可能： 若对称轴 n 正好取得正整数，则此时 n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠 近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则 n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数； 若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则 n 就取 靠近对称轴的那个正整
6、数； 利用等差数列的相关性质求解 17，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于这五个量，知任意三1, ,nna n Sa d个可以求出其它的两个，即“知三求二” 二、二、等比数列常见结论等比数列常见结论 1， 对等比数列定义的理解 （1）是从第二项开始，每一项与前一项的比 （2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为 0 （3）等比数列中任何一项都不为 0（4）符号语言的描述：若数列中满足（不为 0 的常数） ，则数列为na1nnaqana等比数列；2， 当且仅当两个数 a 和 b 同号是才存在等比中项，且等比中项为Gab 3， 若成等比数列，则,a G b2Gab4， 判断给定
7、的数列是等比数列的方法na（1）定义法：（不为 0 的常数）数列为等比数列；1nnaqana（2）中项法：数列为等比数列；2 21nnna aana（3）前 n 项和法：数列的前 n 项和（A 是常数，na=A-AqnnS）数列为等比数列；0,0,1Aqqna5， 等比数列通项公式的推广：若为等比数列，则na*( ,)n m nmaa qn mN6， 若数列是等比数列，且项数满足，则na*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpq，反之也成立；当时，即的等比中项；mnpqa aa apq2 mnpa aapmnaaa是和7， 等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项也
8、等比数列；na8， 等比数列中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列；na9， 若数列，都是等比数列且项数相同，则都是na nb2(0),n nnnn nakaka babg，等比数列； 10， 若等比数列的公比为参数，则在求前 n 项和时应分两种情况讨naqnS1q 和1q 论，即；当时111(1)(1)(1)11n nnna qSaa qaqqqq 1q 1(1)(,0,0,1)1n naSAqAAqqq11， 若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为；, ,xx xqq12， （等比数列的片段和性质）公比不为的等比数列前 n 项和为，则1nanS成等比数列；232,nnnnnSS
9、SSS13， 用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于这五个量，知任意三个可1, ,nna n Sa q以求出其它的两个，即“知三求二” ； 三、等差与等比数列三、等差与等比数列1， 若正项数列为等比数列，则数列为等差数列；nalogana2， 若数列为等差数列，则数列为等比数列；nanab3， 任意两数都存在等差中项为，但不一定都存在等比中项，当且仅当同号时, a b2ab, a b才存在等比中项为；ab 4， 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数 列又是等比数列； 四、例题分析四、例题分析例例 1、 （12 年广东文年广东文 12）若等比数列an满足
10、则 .241,2a a 2 135a a a 【命题意图】此题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，即若数列是等比na数列，且项数满足，则，反之也*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpqmnpqa aa a成立；当时，即的等比中项；pq2 mnpa aapmnaaa是和【解析】224 24315241353111,224a aaa aa aa a aa例例 2、 （12 重庆理重庆理 1）在等差数列中，则的前 5 项和=（ ）na12a54ana5SA、7 B、15 C、20 D、25 【解析】此题考查等差数列的求和公式，可以利用“若数列是等差数列，且项数n
11、a满足，则，反之也成立；当*, , , ( , , ,)m n p q m n p qNmnpqmnpqaaaa时，即的等差中项；”此结论快速求解pq2mnpaaapmnaaa是和因为，所以，所以数列的前 5 项和12a54a64251aaaa,选 B.15625 2)(5 2)(54251 5aaaaS例例 3、(12 全国卷理全国卷理 5)已知等差数列的前 n 项和为，则数列nanS555,15aS的前 100 项和为( )A、 B、 C、 D、11nna a100 10199 10199 100101 100【解析】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查利用裂项相消法求非特殊数列的前
12、n 项和，所以由,得，所以，所以15, 555Sa1, 11dannan) 1(1，111 ) 1(111nnnnaann又，选 A.101100 101111011 1001 31 21 21 111110110021LLaaaa例例 4、 （12 湖北理湖北理 18） （本小题满分 12 分）已知等差数列前三项的和为3，前三项的积为8， （）求等差数列的通项公式；nana（）若成等比数列，求数列的前n项和.231,a a a|na【解析】此题考查等差数列的通项公式和前n项和为、等比数列的通项公式，考查方程思nS想在解决数列问题中的应用（）设等差数列的公差为，则，nad2131,2aad a
13、ad由题意得， 解得或 1111333,()(2 )8ada ad ad 123ad 143ad 所以由等差数列通项公式可得，或35nan 37nan（）当时，分别为1，4，2，不成等比数列；35nan 231,a a a当时，分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.37nan231,a a a故 ，记数列的前n项和为，37,1,2| |37|37,3nnnannn|nanS当时，；当时，；1n 11| 4Sa2n 212| 5Saa当时，3n ，2342| 5(3 37)(3 47)(37)(2)2(37)311510222nnSSaaannnnn 当时，满足此式.综上， 2n 24,1 3
14、1110,122nn Snnn例例 5、 （10 全国全国理理 4 4）如果等差数列中，那么na34512aaa（ ）127aaaA、14 B、21 C、28 D、35【解析】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. ，所以选 C17 3454412747()31247282aaaaaaaaaaa例例 6 6、 （09 宁夏海南理宁夏海南理 16）等差数列前 n 项和为。已知+-nanS1ma1ma=0，=38,则_2 ma21mSm 【解析】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.由+-=01ma1ma2 ma得到。1212 212120,0,22138102m mmmmmmaaaaaSmam 又例例 7、 （11 广东理广东理 11）等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和若，则na141,0kaaa_ k 【解析】此
